Edit to “Решение”
ru/14.2.17.md
+1 −1
| ### Условие | |||
| $14.2.17.$ По направлению к Земле со скоростью $v$ движется космический корабль. Когда измеренное с Земли расстояние до корабля было $l$, с Земли запустили ракету. Через какое время после запуска встретится ракета с кораблем по наблюдениям с Земли и с корабля, если ракета двигалась навстречу кораблю: а) со скоростью $u$? б) с ускорением $a$? | |||
| @@ -4,7 +4,7 @@Условие | |||
| ### Решение | |||
| − |  | ||
| а) Относительно системы отсчета Земли время, за которое корабль с ракетой встретятся будет рассчитываться: | |||
| $$\tau_1 = l / (u + v),$$ | |||
| Воспользуемся преобразованием Лоренца для времени при переходе в систему отсчета корабля: | |||
| $$\tau_2 = \frac{\tau_1 - Vx / c^2}{\sqrt{1 - V^2 / c^2}},$$ | |||
| Здесь $V = -v$, $x = u\tau_1$, при подстановке получим:$$\tau_2 = \frac{\tau_1 + vu\tau_1 / c^2}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}} = \tau_1 \left( \frac{1 + vu / c^2}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}} \right).$$ | |||
| б) Относительно системы отсчета Земли координата корабля и ракеты будут вычисляться: | |||
| $$x_р(t) = at^2 / 2,$$ | |||
| $$x_к(t) = l - vt,$$ | |||
| Приравняв эти функции получим квадратное уравнение, из которого вычислим время встречи (отбросив отрицательный корень): | |||
| $$l - v\tau_1 = a\tau_1^2 / 2,$$ | |||
| $$\tau_1^2 + \frac{2v}{a}\tau_1 - \frac{2l}{a} = 0,$$ | |||
| $$\tau_1 = -\frac{v}{a} \pm \sqrt{\left(\frac{v}{a}\right)^2 + \frac{2l}{a}},$$ | |||
| $$\tau_1 = \frac{v}{a} \left( \sqrt{1 + \frac{2al}{v^2}} - 1 \right).$$ | |||
| Воспользуемся преобразованием Лоренца для времени при переходе в систему отсчета корабля: | |||
| $$\tau_2 = \frac{\tau_1 - Vx / c^2}{\sqrt{1 - V^2 / c^2}},$$ | |||
| Здесь $V = -v$, $x = a\tau_1^2 / 2$, при подстановке получим: | |||
| $$\tau_2 = \frac{\tau_1 + \frac{va\tau_1^2}{2c^2}}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}} = \tau_1 \left( 1 + \frac{va\tau_1}{2c^2} \right) / \sqrt{1 - v^2 / c^2}.$$ | |||
| Комментарий: В ответах опечатка для времени $\tau_2$ в пункте а) в знаменателе перепутали скорость $v$ и $u$. | |||
| #### Ответ | |||
| а) $\tau_1 = l / (u + v)$, $\tau_2 = \tau_1 \left( 1 + vu / c^2 \right) / \sqrt{1 - v^2 / c^2}$;\ | |||
| б) $\tau_1 = \frac{v}{a} \left( \sqrt{1 + \frac{2al}{v^2}} - 1 \right)$, $\tau_2 = \tau_1 \left( 1 + \frac{va\tau_1}{2c^2} \right) / \sqrt{1 - v^2 / c^2}$. | |||
| unchanged lines 23 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $14.2.17.$ По направлению к Земле со скоростью $v$ движется космический корабль. Когда измеренное с Земли расстояние до корабля было $l$, с Земли запустили ракету. Через какое время после запуска встретится ракета с кораблем по наблюдениям с Земли и с корабля, если ракета двигалась навстречу кораблю: а) со скоростью $u$? б) с ускорением $a$? | $14.2.17.$ По направлению к Земле со скоростью $v$ движется космический корабль. Когда измеренное с Земли расстояние до корабля было $l$, с Земли запустили ракету. Через какое время после запуска встретится ракета с кораблем по наблюдениям с Земли и с корабля, если ракета двигалась навстречу кораблю: а) со скоростью $u$? б) с ускорением $a$? | ||
| @@ -4,7 +4,7 @@Условие | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
|  | ||
| а) Относительно системы отсчета Земли время, за которое корабль с ракетой встретятся будет рассчитываться: | а) Относительно системы отсчета Земли время, за которое корабль с ракетой встретятся будет рассчитываться: | ||
| $$\tau_1 = l / (u + v),$$ | $$\tau_1 = l / (u + v),$$ | ||
| Воспользуемся преобразованием Лоренца для времени при переходе в систему отсчета корабля: | Воспользуемся преобразованием Лоренца для времени при переходе в систему отсчета корабля: | ||
| $$\tau_2 = \frac{\tau_1 - Vx / c^2}{\sqrt{1 - V^2 / c^2}},$$ | $$\tau_2 = \frac{\tau_1 - Vx / c^2}{\sqrt{1 - V^2 / c^2}},$$ | ||
| Здесь $V = -v$, $x = u\tau_1$, при подстановке получим:$$\tau_2 = \frac{\tau_1 + vu\tau_1 / c^2}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}} = \tau_1 \left( \frac{1 + vu / c^2}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}} \right).$$ | Здесь $V = -v$, $x = u\tau_1$, при подстановке получим:$$\tau_2 = \frac{\tau_1 + vu\tau_1 / c^2}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}} = \tau_1 \left( \frac{1 + vu / c^2}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}} \right).$$ | ||
| б) Относительно системы отсчета Земли координата корабля и ракеты будут вычисляться: | б) Относительно системы отсчета Земли координата корабля и ракеты будут вычисляться: | ||
| $$x_р(t) = at^2 / 2,$$ | $$x_р(t) = at^2 / 2,$$ | ||
| $$x_к(t) = l - vt,$$ | $$x_к(t) = l - vt,$$ | ||
| Приравняв эти функции получим квадратное уравнение, из которого вычислим время встречи (отбросив отрицательный корень): | Приравняв эти функции получим квадратное уравнение, из которого вычислим время встречи (отбросив отрицательный корень): | ||
| $$l - v\tau_1 = a\tau_1^2 / 2,$$ | $$l - v\tau_1 = a\tau_1^2 / 2,$$ | ||
| $$\tau_1^2 + \frac{2v}{a}\tau_1 - \frac{2l}{a} = 0,$$ | $$\tau_1^2 + \frac{2v}{a}\tau_1 - \frac{2l}{a} = 0,$$ | ||
| $$\tau_1 = -\frac{v}{a} \pm \sqrt{\left(\frac{v}{a}\right)^2 + \frac{2l}{a}},$$ | $$\tau_1 = -\frac{v}{a} \pm \sqrt{\left(\frac{v}{a}\right)^2 + \frac{2l}{a}},$$ | ||
| $$\tau_1 = \frac{v}{a} \left( \sqrt{1 + \frac{2al}{v^2}} - 1 \right).$$ | $$\tau_1 = \frac{v}{a} \left( \sqrt{1 + \frac{2al}{v^2}} - 1 \right).$$ | ||
| Воспользуемся преобразованием Лоренца для времени при переходе в систему отсчета корабля: | Воспользуемся преобразованием Лоренца для времени при переходе в систему отсчета корабля: | ||
| $$\tau_2 = \frac{\tau_1 - Vx / c^2}{\sqrt{1 - V^2 / c^2}},$$ | $$\tau_2 = \frac{\tau_1 - Vx / c^2}{\sqrt{1 - V^2 / c^2}},$$ | ||
| Здесь $V = -v$, $x = a\tau_1^2 / 2$, при подстановке получим: | Здесь $V = -v$, $x = a\tau_1^2 / 2$, при подстановке получим: | ||
| $$\tau_2 = \frac{\tau_1 + \frac{va\tau_1^2}{2c^2}}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}} = \tau_1 \left( 1 + \frac{va\tau_1}{2c^2} \right) / \sqrt{1 - v^2 / c^2}.$$ | $$\tau_2 = \frac{\tau_1 + \frac{va\tau_1^2}{2c^2}}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}} = \tau_1 \left( 1 + \frac{va\tau_1}{2c^2} \right) / \sqrt{1 - v^2 / c^2}.$$ | ||
| Комментарий: В ответах опечатка для времени $\tau_2$ в пункте а) в знаменателе перепутали скорость $v$ и $u$. | Комментарий: В ответах опечатка для времени $\tau_2$ в пункте а) в знаменателе перепутали скорость $v$ и $u$. | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| а) $\tau_1 = l / (u + v)$, $\tau_2 = \tau_1 \left( 1 + vu / c^2 \right) / \sqrt{1 - v^2 / c^2}$;\ | а) $\tau_1 = l / (u + v)$, $\tau_2 = \tau_1 \left( 1 + vu / c^2 \right) / \sqrt{1 - v^2 / c^2}$;\ | ||
| б) $\tau_1 = \frac{v}{a} \left( \sqrt{1 + \frac{2al}{v^2}} - 1 \right)$, $\tau_2 = \tau_1 \left( 1 + \frac{va\tau_1}{2c^2} \right) / \sqrt{1 - v^2 / c^2}$. | б) $\tau_1 = \frac{v}{a} \left( \sqrt{1 + \frac{2al}{v^2}} - 1 \right)$, $\tau_2 = \tau_1 \left( 1 + \frac{va\tau_1}{2c^2} \right) / \sqrt{1 - v^2 / c^2}$. | ||
| unchanged lines 23 | |||