New solution
ru/5.8.4.md
+49 −0
| @@ -0,0 +1,49 @@ | |||
| + | ### Условие | ||
| + | |||
| + | $5.8.4.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | |||
| + | ### Решение | ||
| + | |||
| + |  | ||
| + | |||
| + | Должно произойти следующее: в объёме $V$ должно оказаться столько же молекул, сколько уже находится в $V = 1 \, \text{мм}^3$. | ||
| + | |||
| + | Общее количество молекул в комнате (моей ванной после душа $:)$): | ||
| + | \[ | ||
| + | N = N_A \cdot \frac{PV_0}{RT} \approx N_A \cdot \frac{10^5 \cdot 10}{8.3 \cdot 300} \approx 10^{26}. | ||
| + | \] | ||
| + | |||
| + | Нам нужно: | ||
| + | \[ | ||
| + | n = N \cdot \frac{V}{V_0} \approx 10^{15}. | ||
| + | \] | ||
| + | |||
| + | Вероятность существования $n$ молекул равна $1$. | ||
| + | |||
| + | Вероятность нахождения одной молекулы в объёме $V$ равна $p = \frac{V}{V_0}$. | ||
| + | |||
| + | Таким образом, окончательный ответ: | ||
| + | \[ | ||
| + | P = \left( \frac{V}{V_0} \right)^{\!n} = \left( \frac{V}{V_0} \right)^{\!N \cdot \frac{V}{V_0}} = x^{Nx}, \quad x = \frac{V}{V_0}. | ||
| + | \] | ||
| + | |||
| + | В нашем случае $\frac{V}{V_0} = 10^{-10}$ и $P = 10^{-10^{15}}$, что близко к оценке Савченко. Верхняя степень сильно зависит от температуры и объёма. | ||
| + | |||
| + | Мы можем построить график $P(x)$ и увидеть, что $P = 10^{-4}\%$, если $x = \frac{V}{V_0} \approx 10^{-27}$, следовательно, | ||
| + | $V = 10^{-17} \, \text{мм}^3$. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Интересно заметить, что с уменьшением $x$ вероятность $P$ стремится к $1$. | ||
| + | |||
| + | Попытка объяснить это в рамках нашей модели заключается в том, что если рассматривать объём, который порядка меньше куба длины свободного пробега молекулы, то в нём точно происходят столкновения, должны присутствовать все пары сталкивающихся молекул, что даёт двойную плотность. | ||
| + | |||
| + | Если подробнее, то: | ||
| + | |||
| + | Ключевой постулат термодинамики гласит, что мы рассматриваем систему, содержащую достаточно много частиц, так что флуктуациями $n$ можно пренебречь. Однако при уменьшении объёма это утверждение перестаёт быть справедливым. | ||
| + | |||
| + | Мы берём всё более уменьшающийся объём и уменьшающёёся кол-во молекул, и в какой то момент флуктуации становятся порядка кол-ва молекул в объёме, и мы можем иметь двойную плотность. | ||
| + | Из-за ударов молекулы стали в моменте настолько близко друг к другу, что мы можем спокойно выбрать какой-либо объём вокруг них двоих, в котором плотность будет двойной (это будет очень маленький объём $x = \frac{V}{V_0} \approx 10^{-27 (-26)}$ порядка объёма, приходящегося на 1 молекулу. А столкновения случаются очень часто (их частота по размерности $\frac{сред. скорость}{дл.свободного-пробега}$ | ||
| + | |||
| + | #### Ответ | ||
| + | |||
| + | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| @@ -0,0 +1,49 @@ | |||
| ### Условие | |||
| $5.8.4.$ [Вставьте условие задачи] | |||
| ### Решение | |||
|  | |||
| Должно произойти следующее: в объёме $V$ должно оказаться столько же молекул, сколько уже находится в $V = 1 \, \text{мм}^3$. | |||
| Общее количество молекул в комнате (моей ванной после душа $:)$): | |||
| \[ | |||
| N = N_A \cdot \frac{PV_0}{RT} \approx N_A \cdot \frac{10^5 \cdot 10}{8.3 \cdot 300} \approx 10^{26}. | |||
| \] | |||
| Нам нужно: | |||
| \[ | |||
| n = N \cdot \frac{V}{V_0} \approx 10^{15}. | |||
| \] | |||
| Вероятность существования $n$ молекул равна $1$. | |||
| Вероятность нахождения одной молекулы в объёме $V$ равна $p = \frac{V}{V_0}$. | |||
| Таким образом, окончательный ответ: | |||
| \[ | |||
| P = \left( \frac{V}{V_0} \right)^{\!n} = \left( \frac{V}{V_0} \right)^{\!N \cdot \frac{V}{V_0}} = x^{Nx}, \quad x = \frac{V}{V_0}. | |||
| \] | |||
| В нашем случае $\frac{V}{V_0} = 10^{-10}$ и $P = 10^{-10^{15}}$, что близко к оценке Савченко. Верхняя степень сильно зависит от температуры и объёма. | |||
| Мы можем построить график $P(x)$ и увидеть, что $P = 10^{-4}\%$, если $x = \frac{V}{V_0} \approx 10^{-27}$, следовательно, | |||
| $V = 10^{-17} \, \text{мм}^3$. | |||
| Интересно заметить, что с уменьшением $x$ вероятность $P$ стремится к $1$. | |||
| Попытка объяснить это в рамках нашей модели заключается в том, что если рассматривать объём, который порядка меньше куба длины свободного пробега молекулы, то в нём точно происходят столкновения, должны присутствовать все пары сталкивающихся молекул, что даёт двойную плотность. | |||
| Если подробнее, то: | |||
| Ключевой постулат термодинамики гласит, что мы рассматриваем систему, содержащую достаточно много частиц, так что флуктуациями $n$ можно пренебречь. Однако при уменьшении объёма это утверждение перестаёт быть справедливым. | |||
| Мы берём всё более уменьшающийся объём и уменьшающёёся кол-во молекул, и в какой то момент флуктуации становятся порядка кол-ва молекул в объёме, и мы можем иметь двойную плотность. | |||
| Из-за ударов молекулы стали в моменте настолько близко друг к другу, что мы можем спокойно выбрать какой-либо объём вокруг них двоих, в котором плотность будет двойной (это будет очень маленький объём $x = \frac{V}{V_0} \approx 10^{-27 (-26)}$ порядка объёма, приходящегося на 1 молекулу. А столкновения случаются очень часто (их частота по размерности $\frac{сред. скорость}{дл.свободного-пробега}$ | |||
| #### Ответ | |||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | |||