Edits to “Условие”, “Ответ”
ru/5.8.4.md
+7 −2
| @@ -1,7 +1,9 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $5.8.4.$ | ||
| + | $5.8.4.$ | ||
| + | Оцените вероятность того, что плотность воздуха в объёме $0.1 \, \text{мм}^3$ в любой части вашей комнаты окажется вдвое выше обычной плотности. Каким должен быть объём этого участка, чтобы эта вероятность была достаточно большой? | ||
| + | |||
| ### Решение | |||
|  | |||
| Должно произойти следующее: в объёме $V$ должно оказаться столько же молекул, сколько уже находится в $V = 1 \, \text{мм}^3$. | |||
| Общее количество молекул в комнате (моей ванной после душа $:)$): | |||
| \[ | |||
| N = N_A \cdot \frac{PV_0}{RT} \approx N_A \cdot \frac{10^5 \cdot 10}{8.3 \cdot 300} \approx 10^{26}. | |||
| \] | |||
| Нам нужно: | |||
| \[ | |||
| n = N \cdot \frac{V}{V_0} \approx 10^{15}. | |||
| \] | |||
| Вероятность существования $n$ молекул равна $1$. | |||
| Вероятность нахождения одной молекулы в объёме $V$ равна $p = \frac{V}{V_0}$. | |||
| Таким образом, окончательный ответ: | |||
| \[ | |||
| P = \left( \frac{V}{V_0} \right)^{\!n} = \left( \frac{V}{V_0} \right)^{\!N \cdot \frac{V}{V_0}} = x^{Nx}, \quad x = \frac{V}{V_0}. | |||
| \] | |||
| В нашем случае $\frac{V}{V_0} = 10^{-10}$ и $P = 10^{-10^{15}}$, что близко к оценке Савченко. Верхняя степень сильно зависит от температуры и объёма. | |||
| Мы можем построить график $P(x)$ и увидеть, что $P = 10^{-4}\%$, если $x = \frac{V}{V_0} \approx 10^{-27}$, следовательно, | |||
| $V = 10^{-17} \, \text{мм}^3$. | |||
| Интересно заметить, что с уменьшением $x$ вероятность $P$ стремится к $1$. | |||
| Попытка объяснить это в рамках нашей модели заключается в том, что если рассматривать объём, который порядка меньше куба длины свободного пробега молекулы, то в нём точно происходят столкновения, должны присутствовать все пары сталкивающихся молекул, что даёт двойную плотность. | |||
| Если подробнее, то: | |||
| Ключевой постулат термодинамики гласит, что мы рассматриваем систему, содержащую достаточно много частиц, так что флуктуациями $n$ можно пренебречь. Однако при уменьшении объёма это утверждение перестаёт быть справедливым. | |||
| Мы берём всё более уменьшающийся объём и уменьшающёёся кол-во молекул, и в какой то момент флуктуации становятся порядка кол-ва молекул в объёме, и мы можем иметь двойную плотность. | |||
| @@ -45,5 +47,8 @@Решение | |||
| Из-за ударов молекулы стали в моменте настолько близко друг к другу, что мы можем спокойно выбрать какой-либо объём вокруг них двоих, в котором плотность будет двойной (это будет очень маленький объём $x = \frac{V}{V_0} \approx 10^{-27 (-26)}$ порядка объёма, приходящегося на 1 молекулу. А столкновения случаются очень часто (их частота по размерности $\frac{сред. скорость}{дл.свободного-пробега}$ | |||
| #### Ответ | |||
| + | $P=10^{-10^{15}}$, | ||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $P=10^{-4}% $ if $V=10^{-17} mm^3$, | ||
| + | |||
| + | $P=(\frac{V}{V_0})^{N \cdot \frac{V}{V_0}}$ | ||
| @@ -1,7 +1,9 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $5.8.4.$ |
$5.8.4.$ | ||
| Оцените вероятность того, что плотность воздуха в объёме $0.1 \, \text{мм}^3$ в любой части вашей комнаты окажется вдвое выше обычной плотности. Каким должен быть объём этого участка, чтобы эта вероятность была достаточно большой? | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
|  |  | ||
| Должно произойти следующее: в объёме $V$ должно оказаться столько же молекул, сколько уже находится в $V = 1 \, \text{мм}^3$. | Должно произойти следующее: в объёме $V$ должно оказаться столько же молекул, сколько уже находится в $V = 1 \, \text{мм}^3$. | ||
| Общее количество молекул в комнате (моей ванной после душа $:)$): | Общее количество молекул в комнате (моей ванной после душа $:)$): | ||
| \[ | \[ | ||
| N = N_A \cdot \frac{PV_0}{RT} \approx N_A \cdot \frac{10^5 \cdot 10}{8.3 \cdot 300} \approx 10^{26}. | N = N_A \cdot \frac{PV_0}{RT} \approx N_A \cdot \frac{10^5 \cdot 10}{8.3 \cdot 300} \approx 10^{26}. | ||
| \] | \] | ||
| Нам нужно: | Нам нужно: | ||
| \[ | \[ | ||
| n = N \cdot \frac{V}{V_0} \approx 10^{15}. | n = N \cdot \frac{V}{V_0} \approx 10^{15}. | ||
| \] | \] | ||
| Вероятность существования $n$ молекул равна $1$. | Вероятность существования $n$ молекул равна $1$. | ||
| Вероятность нахождения одной молекулы в объёме $V$ равна $p = \frac{V}{V_0}$. | Вероятность нахождения одной молекулы в объёме $V$ равна $p = \frac{V}{V_0}$. | ||
| Таким образом, окончательный ответ: | Таким образом, окончательный ответ: | ||
| \[ | \[ | ||
| P = \left( \frac{V}{V_0} \right)^{\!n} = \left( \frac{V}{V_0} \right)^{\!N \cdot \frac{V}{V_0}} = x^{Nx}, \quad x = \frac{V}{V_0}. | P = \left( \frac{V}{V_0} \right)^{\!n} = \left( \frac{V}{V_0} \right)^{\!N \cdot \frac{V}{V_0}} = x^{Nx}, \quad x = \frac{V}{V_0}. | ||
| \] | \] | ||
| В нашем случае $\frac{V}{V_0} = 10^{-10}$ и $P = 10^{-10^{15}}$, что близко к оценке Савченко. Верхняя степень сильно зависит от температуры и объёма. | В нашем случае $\frac{V}{V_0} = 10^{-10}$ и $P = 10^{-10^{15}}$, что близко к оценке Савченко. Верхняя степень сильно зависит от температуры и объёма. | ||
| Мы можем построить график $P(x)$ и увидеть, что $P = 10^{-4}\%$, если $x = \frac{V}{V_0} \approx 10^{-27}$, следовательно, | Мы можем построить график $P(x)$ и увидеть, что $P = 10^{-4}\%$, если $x = \frac{V}{V_0} \approx 10^{-27}$, следовательно, | ||
| $V = 10^{-17} \, \text{мм}^3$. | $V = 10^{-17} \, \text{мм}^3$. | ||
| Интересно заметить, что с уменьшением $x$ вероятность $P$ стремится к $1$. | Интересно заметить, что с уменьшением $x$ вероятность $P$ стремится к $1$. | ||
| Попытка объяснить это в рамках нашей модели заключается в том, что если рассматривать объём, который порядка меньше куба длины свободного пробега молекулы, то в нём точно происходят столкновения, должны присутствовать все пары сталкивающихся молекул, что даёт двойную плотность. | Попытка объяснить это в рамках нашей модели заключается в том, что если рассматривать объём, который порядка меньше куба длины свободного пробега молекулы, то в нём точно происходят столкновения, должны присутствовать все пары сталкивающихся молекул, что даёт двойную плотность. | ||
| Если подробнее, то: | Если подробнее, то: | ||
| Ключевой постулат термодинамики гласит, что мы рассматриваем систему, содержащую достаточно много частиц, так что флуктуациями $n$ можно пренебречь. Однако при уменьшении объёма это утверждение перестаёт быть справедливым. | Ключевой постулат термодинамики гласит, что мы рассматриваем систему, содержащую достаточно много частиц, так что флуктуациями $n$ можно пренебречь. Однако при уменьшении объёма это утверждение перестаёт быть справедливым. | ||
| Мы берём всё более уменьшающийся объём и уменьшающёёся кол-во молекул, и в какой то момент флуктуации становятся порядка кол-ва молекул в объёме, и мы можем иметь двойную плотность. | Мы берём всё более уменьшающийся объём и уменьшающёёся кол-во молекул, и в какой то момент флуктуации становятся порядка кол-ва молекул в объёме, и мы можем иметь двойную плотность. | ||
| @@ -45,5 +47,8 @@Решение | |||
| Из-за ударов молекулы стали в моменте настолько близко друг к другу, что мы можем спокойно выбрать какой-либо объём вокруг них двоих, в котором плотность будет двойной (это будет очень маленький объём $x = \frac{V}{V_0} \approx 10^{-27 (-26)}$ порядка объёма, приходящегося на 1 молекулу. А столкновения случаются очень часто (их частота по размерности $\frac{сред. скорость}{дл.свободного-пробега}$ | Из-за ударов молекулы стали в моменте настолько близко друг к другу, что мы можем спокойно выбрать какой-либо объём вокруг них двоих, в котором плотность будет двойной (это будет очень маленький объём $x = \frac{V}{V_0} \approx 10^{-27 (-26)}$ порядка объёма, приходящегося на 1 молекулу. А столкновения случаются очень часто (их частота по размерности $\frac{сред. скорость}{дл.свободного-пробега}$ | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $P=10^{-10^{15}}$, | |||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $P=10^{-4}% $ if $V=10^{-17} mm^3$, | ||
| $P=(\frac{V}{V_0})^{N \cdot \frac{V}{V_0}}$ | |||