Решение

Должно произойти следующее: в объёме $V$ должно оказаться столько же молекул, сколько уже находится в $V = 1 \, \text{мм}^3$.

Общее количество молекул в комнате (моей ванной после душа $:)$):
$$N = N_A \cdot \frac{PV_0}{RT} \approx N_A \cdot \frac{10^5 \cdot 10}{8.3 \cdot 300} \approx 10^{26}.$$

Нам нужно:
$$n = N \cdot \frac{V}{V_0} \approx 10^{15}.$$

Вероятность существования $n$ молекул равна $1$.

Вероятность нахождения одной молекулы в объёме $V$ равна $p = \frac{V}{V_0}$.

Таким образом, окончательный ответ:
$$P = \left( \frac{V}{V_0} \right)^{\!n} = \left( \frac{V}{V_0} \right)^{\!N \cdot \frac{V}{V_0}} = x^{Nx}, \quad x = \frac{V}{V_0}.$$

В нашем случае $\frac{V}{V_0} = 10^{-10}$ и $P = 10^{-10^{15}}$, что близко к оценке Савченко. Верхняя степень сильно зависит от температуры и объёма.

Мы можем построить график $P(x)$ и увидеть, что $P = 10^{-4}%$, если $x = \frac{V}{V_0} \approx 10^{-27}$, следовательно,
$V = 10^{-17} \, \text{мм}^3$.

Интересно заметить, что с уменьшением $x$ вероятность $P$ стремится к $1$.

Попытка объяснить это в рамках нашей модели заключается в том, что если рассматривать объём, который порядка меньше куба длины свободного пробега молекулы, то в нём точно происходят столкновения, должны присутствовать все пары сталкивающихся молекул, что даёт двойную плотность.

Если подробнее, то:

Ключевой постулат термодинамики гласит, что мы рассматриваем систему, содержащую достаточно много частиц, так что флуктуациями $n$ можно пренебречь. Однако при уменьшении объёма это утверждение перестаёт быть справедливым.

Мы берём всё более уменьшающийся объём и уменьшающёёся кол-во молекул, и в какой то момент флуктуации становятся порядка кол-ва молекул в объёме, и мы можем иметь двойную плотность.
Из-за ударов молекулы стали в моменте настолько близко друг к другу, что мы можем спокойно выбрать какой-либо объём вокруг них двоих, в котором плотность будет двойной (это будет очень маленький объём $x = \frac{V}{V_0} \approx 10^{-27 (-26)}$ порядка объёма, приходящегося на 1 молекулу. А столкновения случаются очень часто (их частота по размерности $\frac{сред. скорость}{дл.свободного-пробега}$