Решение

Если представить, что в процессе затухающих колебаний амплитуда меняется медленно, то можно решить задачу, используя сведения из теории идеального колебательного контура, в котором колебания не прекращаются.

Если говорить подробнее, то если второе правило Кирхгофа для цепи $RLC$ [1]

$$iR+L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=0,$$

где $i$ есть ток в контуре, $q/C$ есть напряжение на конденсаторе в контуре ($i$ и $q$ зависят от времени),

продифференцировать по $t$, то можно получить диффур

$$\frac{d^2i}{dt^2}+2\gamma\frac{di}{dt}+\omega_0^2i=0,$$

где $\gamma=R/(2L)$ есть коэффициент затухания, $\omega_0^2=1/(LC)$ есть собственная частота колебательной системы.

Этот диффур в общем имеет разные решения [1, 2], но только одно из них имеет вид колебаний, как и говорится в задаче, а именно решение:

$$i=ae^{-\gamma t}\cos\left(\omega t+\delta\right),$$

где $a$ и $\delta$ есть постоянные интегрирования, которые находят из состояний системы, в которых про эту систему что-то известно; $\omega^2=\omega_0^2-\gamma^2$.

Итак, в нашей задаче ток меняются как затухающий синус (см. рисунок далее).

Рассмотрим момент времени, когда ток в цепи максимален и равен $I_1$. В этот момент энергия есть в катушке

$$W_{L1}=\frac{LI_1^2}{2}.$$

Но также в этот момент оказывается есть энергия в конденсаторе. Из-за того, что производная тока в этот момент равна нулю то напряжение на катушке равно нулю. Но тогда из второго правила Кирхгофа напряжение на резисторе $I_1R$ равно напряжению на конденсаторе $U_{C1}$:

$$I_1R=U_{C1}.$$

Отсюда энергия конденсатора

$$W_{C1}=\frac{C\left(I_1R\right)^2}{2}.$$

Суммарная энергия контура

$$W_1=W_{L1}+W_{C1}.$$

Аналогичные рассуждения можно сделать для второго момента времени с максимумом тока $I_2$.

В итоге получится ответ. Тепло равно разности энергий контура

$$Q=W_1-W_2=\frac{1}{2}\left(CR^2+L\right)\left(I_1^2-I_2^2\right).$$