Электромагнитная индукция > Электрические цепи переменного тока > Задача 11.4.24

Условие

$11.4.24^*.$ В колебательном контуре, состоящем из последовательно соединенных сопротивления $R$, катушки индуктивности $L$ и конденсатора емкости $C$, происходят затухающие колебания. За некоторое время амплитуда тока в контуре уменьшилась от значения $I_1$ до значения $I_2$. Какое количество теплоты выделилось за это время на сопротивлении?

Решение

Если представить, что в процессе затухающих колебаний амплитуда меняется медленно, то можно решить задачу, используя сведения из теории идеального колебательного контура, в котором колебания не прекращаются.

Если говорить подробнее, то если второе правило Кирхгофа для цепи $RLC$ [1]

$$
iR+L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=0,
$$

где $i$ есть ток в контуре, $q/C$ есть напряжение на конденсаторе в контуре ($i$ и $q$ зависят от времени),

продифференцировать по $t$, то можно получить диффур

$$
\frac{d^2i}{dt^2}+2\gamma\frac{di}{dt}+\omega_0^2i=0,
$$

где $\gamma=R/(2L)$ есть коэффициент затухания, $\omega_0^2=1/(LC)$ есть собственная частота колебательной системы.

Этот диффур в общем имеет разные решения [1, 2], но только одно из них имеет вид колебаний, как и говорится в задаче, а именно решение:

$$
i=ae^{-\gamma t}\cos\left(\omega t+\delta\right),
$$

где $a$ и $\delta$ есть постоянные интегрирования, которые находят из состояний системы, в которых про эту систему что-то известно; $\omega^2=\omega_0^2-\gamma^2$.

Итак, в нашей задаче ток меняются как затухающий синус (см. рисунок далее).

Рассмотрим момент времени, когда ток в цепи максимален и равен $I_1$. В этот момент энергия есть в катушке

$$
W_{L1}=\frac{LI_1^2}{2}.
$$

Но также в этот момент оказывается есть энергия в конденсаторе. Из-за того, что производная тока в этот момент равна нулю то напряжение на катушке равно нулю. Но тогда из второго правила Кирхгофа напряжение на резисторе $I_1R$ равно напряжению на конденсаторе $U_{C1}$:

$$
I_1R=U_{C1}.
$$

Отсюда энергия конденсатора

$$
W_{C1}=\frac{C\left(I_1R\right)^2}{2}.
$$

Суммарная энергия контура

$$
W_1=W_{L1}+W_{C1}.
$$

Аналогичные рассуждения можно сделать для второго момента времени с максимумом тока $I_2$.

В итоге получится ответ. Тепло равно разности энергий контура

$$
Q=W_1-W_2=\frac{1}{2}\left(CR^2+L\right)\left(I_1^2-I_2^2\right).
$$

Литература

[1] Сивухин Д. В. Электричество //Сер." Общий курс физики. – 1983. – Т. 3. Глава «Колебания и волны».

[2] Уравнение гармонического осциллятора с затуханием. https://eqworld.ipmnet.ru/indexr.htm.

[3] Теоретические основы электротехники. Том 2. К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. 2003.

Ответ

$$
Q=W_1-W_2=\frac{1}{2}\left(CR^2+L\right)\left(I_1^2-I_2^2\right).
$$