Решение

Сначала перейдём в систему покоя $\pi^0$ -мезонов. Обозначим в этой системе углы к скорости $βc$ как $\theta$. Очевидно, для выполнения ЗСИ фотоны каждой пары будут разлетаться строго противоположно, но в целом изотропно - все $\theta$ для прямой, вдоль которой разлетаются фотоны, равновероятны.

Теперь перейдём в лабораторную систему. Нам надо найти распределение как изменятся углы. Это можно сделать и используя готовую формулу для аберрации света, но я покажу вывод с помоцью преобразований Лоренца для 4-импульса. Учтём, что для фотона $E=pc$, поэтому записывать полные преобразования необязательно, достаточно

\begin{pmatrix} p' \\ p_x' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} p \\ p_x \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \gamma & \beta\gamma \\ \beta\gamma & \gamma \end{pmatrix}

$$p' \begin{pmatrix} 1\\ \cos\theta' \end{pmatrix}=\gamma p \begin{pmatrix} 1 \\ \cos\theta \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & \beta \\ \beta& 1 \end{pmatrix}=\gamma p \begin{pmatrix} 1+\beta\cos\theta \\ \beta+\cos\theta \end{pmatrix}$$
$$\cos\theta'=\frac{p_x'}{p'}=\frac{\beta+\cos\theta}{1+\beta\cos\theta }$$
Работа с полной матрицей даст такой же результат

Условие $\theta'<\frac{\pi}{2}$ равнозначно $\cos\theta'>0$
$$0<\beta<1;\ \cos\theta\ge -1\quad \to \quad 1+\beta\cos\theta>0 - всегда$$
Тогда условие можно переписать как
$$\cos\theta>-\beta$$
Тогда вероятность, учитывая изотропию $\theta$ , найдем так ($k$- нормировочный коэффициент, подобранный таким образом, чтобы полная вероятность была равна 1)
$$N=\frac{\int_{-\beta}^1k\ d(cos\theta)}{\int_{-1}^1k\ d(cos\theta)}=\frac{1+\beta}{2}$$