Специальная теория относительности > Постоянство скорости света. Сложение скоростей > Задача 14.1.24

Условие

$14.1.24^∗$ . $\pi^0$ -Мезоны, имеющие одинаковую скорость $\beta c$, распадаются на $\gamma$-кванты:
$$
\pi^0\to \gamma + \gamma
$$
Какая часть γ-квантов движется под углами к скорости $βc$, меньшими $\frac{\pi}{2}$?

Решение

Сначала перейдём в систему покоя $\pi^0$ -мезонов. Обозначим в этой системе углы к скорости $βc$ как $\theta$. Очевидно, для выполнения ЗСИ фотоны каждой пары будут разлетаться строго противоположно, но в целом изотропно - все $\theta$ для прямой, вдоль которой разлетаются фотоны, равновероятны.

Теперь перейдём в лабораторную систему. Нам надо найти распределение как изменятся углы. Это можно сделать и используя готовую формулу для аберрации света, но я покажу вывод с помоцью преобразований Лоренца для 4-импульса. Учтём, что для фотона $E=pc$, поэтому записывать полные преобразования необязательно, достаточно

$$
\begin{pmatrix}
p' \\
p_x'
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
p \\
p_x
\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}
\gamma & \beta\gamma \\
\beta\gamma & \gamma
\end{pmatrix}
$$

$$
p' \begin{pmatrix}
1\\
\cos\theta'
\end{pmatrix}=\gamma p
\begin{pmatrix}
1 \\
\cos\theta
\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}
1 & \beta \\
\beta& 1
\end{pmatrix}=\gamma p
\begin{pmatrix}
1+\beta\cos\theta \\
\beta+\cos\theta
\end{pmatrix}
$$
$$
\cos\theta'=\frac{p_x'}{p'}=\frac{\beta+\cos\theta}{1+\beta\cos\theta }
$$
Работа с полной матрицей даст такой же результат

Условие $\theta'<\frac{\pi}{2}$ равнозначно $\cos\theta'>0$
$$
0<\beta<1;\ \cos\theta\ge -1\quad \to \quad 1+\beta\cos\theta>0 - всегда
$$
Тогда условие можно переписать как
$$
\cos\theta>-\beta
$$
Тогда вероятность, учитывая изотропию $\theta$ , найдем так ($k$- нормировочный коэффициент, подобранный таким образом, чтобы полная вероятность была равна 1)
$$
N=\frac{\int_{-\beta}^1k\ d(cos\theta)}{\int_{-1}^1k\ d(cos\theta)}=\frac{1+\beta}{2}
$$

Ответ

$$
\boxed{N=\frac{1+\beta}{2}}
$$