Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/5.8.13.md
+39 −3
| @@ -1,11 +1,47 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $5.8.13.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $5.8.13.$ В сосуд с водой при температуре $20^{\circ }C$ поместили 1 г льда, находящегося при температуре $0^{\circ }C$ в герметичной коробке. Определите, во сколько раз вероятность процесса превращения льда в воду больше вероятности обратного процесса — растаявшая вода в коробке вдруг начнет отдавать тепло окружающей воде и превратится в лед. Температура воды в сосуде при таянии льда практически не меняется. | ||
| ### Решение | |||
| − | asd | ||
| + | Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух частей: содержимого герметичной коробки (лед/вода) и окружающей воды в сосуде, которая выступает в роли термостата. Так как плавление льда происходит при постоянной температуре $T_{1}=0^{\circ }C=273^{\circ }K$, содержимое коробки получает тепло, и его энтропия увеличивается: | ||
| + | $$\Delta S_{1}=\frac{Q}{T_{1}}=\frac{\lambda m}{T_{1}}$$ | ||
| + | |||
| + | Окружающая вода отдает это же количество теплоты $Q$ при своей постоянной температуре $T_{2}=20^{\circ }C=293^{\circ }K$, поэтому ее энтропия уменьшается: | ||
| + | |||
| + | $$\Delta S_{2}=-\frac{Q}{T_{2}}=-\frac{\lambda m}{T_{2}}$$ | ||
| + | |||
| + | Энтропия величина адитивная, поэтому полное изменение энтропии всей системы: | ||
| + | |||
| + | $$\Delta S=\Delta S_{1}+\Delta S_{2}=\lambda m\left( \frac{1}{T_{1}}-\frac{1}{T_{2}} \right)$$ | ||
| + | |||
| + | Согласно формуле Больцмана связь энтропии с числом микросостояний, которыми может быть реализовано данное макросостояние: | ||
| + | |||
| + | $$S=k\ln\Omega\Longrightarrow \Omega=e^{\frac{S}{k}}$$ | ||
| + | |||
| + | Вероятность того, что произойдет прямой процесс (лёд станет водой), пропорциональна тому, сколькими способами может существовать конечное состояние $\Omega _{2}$. Вероятность обратного процесса (растаявшая вода превратится в лёд за счет случайных флуктуаций) пропорциональна числу способов существования начального состояния $\Omega _{1}$. Следовательно: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{W_{пр}}{W_{обр}}=\frac{\Omega_{2}}{\Omega_{1}}=\frac{e^{\frac{S_{2}}{k}}}{e^{\frac{S_{1}}{k}}}=e^{\frac{\Delta S}{k}}$$ | ||
| + | |||
| + | Окончательно: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{W_{пр}}{W_{обр}}=\exp\left( \frac{\lambda m(T_{2}-T_{1})}{kT_{1}T_{2}} \right) \tag{*}$$ | ||
| + | |||
| + | Подставив числовые значения величин, я получил показатель экспоненты: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{\lambda m(T_{2}-T_{1})}{kT_{1}T_{2}}\approx 6\cdot10^{21}$$ | ||
| + | |||
| + | Савченко же рассматривает лишь порядок величины: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{\lambda m(T_{2}-T_{1})}{kT_{1}T_{2}}\approx 10^{21}$$ | ||
| + | |||
| + | Перейдём в основании степени от эспоненты к 10, используя, что $\lg e\approx 0,43$: | ||
| + | |||
| + | Моя оценка $\frac{W_{пр}}{W_{обр}}=10^{2,6\cdot 10^{21}}$. Оценка Савченко: $\frac{W_{пр}}{W_{обр}}=10^{4,8\cdot 10^{22}}$. | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | Приблизительная оценка Савченко в $10^{4,8\cdot 10^{22}}$ раз. | ||
| + | |||
| + | Более точная оценка в $10^{2,6\cdot 10^{21}}$ раз. | ||
| @@ -1,11 +1,47 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $5.8.13.$ [Вставьте условие задачи] | $5.8.13.$ В сосуд с водой при температуре $20^{\circ }C$ поместили 1 г льда, находящегося при температуре $0^{\circ }C$ в герметичной коробке. Определите, во сколько раз вероятность процесса превращения льда в воду больше вероятности обратного процесса — растаявшая вода в коробке вдруг начнет отдавать тепло окружающей воде и превратится в лед. Температура воды в сосуде при таянии льда практически не меняется. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| asd | Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух частей: содержимого герметичной коробки (лед/вода) и окружающей воды в сосуде, которая выступает в роли термостата. Так как плавление льда происходит при постоянной температуре $T_{1}=0^{\circ }C=273^{\circ }K$, содержимое коробки получает тепло, и его энтропия увеличивается: | ||
| $$\Delta S_{1}=\frac{Q}{T_{1}}=\frac{\lambda m}{T_{1}}$$ | |||
| Окружающая вода отдает это же количество теплоты $Q$ при своей постоянной температуре $T_{2}=20^{\circ }C=293^{\circ }K$, поэтому ее энтропия уменьшается: | |||
| $$\Delta S_{2}=-\frac{Q}{T_{2}}=-\frac{\lambda m}{T_{2}}$$ | |||
| Энтропия величина адитивная, поэтому полное изменение энтропии всей системы: | |||
| $$\Delta S=\Delta S_{1}+\Delta S_{2}=\lambda m\left( \frac{1}{T_{1}}-\frac{1}{T_{2}} \right)$$ | |||
| Согласно формуле Больцмана связь энтропии с числом микросостояний, которыми может быть реализовано данное макросостояние: | |||
| $$S=k\ln\Omega\Longrightarrow \Omega=e^{\frac{S}{k}}$$ | |||
| Вероятность того, что произойдет прямой процесс (лёд станет водой), пропорциональна тому, сколькими способами может существовать конечное состояние $\Omega _{2}$. Вероятность обратного процесса (растаявшая вода превратится в лёд за счет случайных флуктуаций) пропорциональна числу способов существования начального состояния $\Omega _{1}$. Следовательно: | |||
| $$\frac{W_{пр}}{W_{обр}}=\frac{\Omega_{2}}{\Omega_{1}}=\frac{e^{\frac{S_{2}}{k}}}{e^{\frac{S_{1}}{k}}}=e^{\frac{\Delta S}{k}}$$ | |||
| Окончательно: | |||
| $$\frac{W_{пр}}{W_{обр}}=\exp\left( \frac{\lambda m(T_{2}-T_{1})}{kT_{1}T_{2}} \right) \tag{*}$$ | |||
| Подставив числовые значения величин, я получил показатель экспоненты: | |||
| $$\frac{\lambda m(T_{2}-T_{1})}{kT_{1}T_{2}}\approx 6\cdot10^{21}$$ | |||
| Савченко же рассматривает лишь порядок величины: | |||
| $$\frac{\lambda m(T_{2}-T_{1})}{kT_{1}T_{2}}\approx 10^{21}$$ | |||
| Перейдём в основании степени от эспоненты к 10, используя, что $\lg e\approx 0,43$: | |||
| Моя оценка $\frac{W_{пр}}{W_{обр}}=10^{2,6\cdot 10^{21}}$. Оценка Савченко: $\frac{W_{пр}}{W_{обр}}=10^{4,8\cdot 10^{22}}$. | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | Приблизительная оценка Савченко в $10^{4,8\cdot 10^{22}}$ раз. | ||
| Более точная оценка в $10^{2,6\cdot 10^{21}}$ раз. | |||