Edits to “[ textbfУсловие]”, “[ textbf Решение ]”, “[ textbfРешение пункта (а)]”
ru/5.2.14.md
+55 −6
| @@ -1,11 +1,60 @@ | |||
| − | ## | ||
| + | ## \[ \textbf{Условие}\] | ||
| − | $5.2.14.$ | ||
| + | $5.2.14.$ | ||
| + | а) Пусть создан пучок одинаковых молекул с функцией распределения | ||
| − | ### Решение | ||
| + | $f(v_{x}) = 2\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}exp(-\alpha v_{x}^{2}), \ \alpha>0. $ | ||
| − | 12321 | ||
| + | Масса молекулы равна m. Как изменится число молекул в еденицу объёма, если пучок пройдёт область протяжённостью $l$, в которой на каждую молекулу действует тормозящая сила $F$? | ||
| − | #### Ответ | ||
| + | б) Плостность частиц вблизи поверхности Земли $\rho_{0},$ их температура равна $T$, а масса частиц равна $m$. Частицы имеют максвелловское распределение по скоростям. Определите плостнотсь частиц и распределение частиц по скоростям на высоте $h$ над Землёй. | ||
| − | |||
| + | |||
| + | ## \[ \textbf{ Решение} \] | ||
| + | ### \[ \textbf{Решение пункта (а)}\] | ||
| + | |||
| + | #### 1. Запишем ЗСЭ для молекулы. | ||
| + | |||
| + | $\frac{mv_{x}^{2}}{2} = \frac{mv^{2}}{2} - Fl \Rightarrow v = \sqrt{v_{x}^{2} + \frac{2FL}{m}}$ | ||
| + | |||
| + | Тут - $v$ - есть скорость молекулы на конце пути. И тут же видно, что до конца не долетают те частицы имеющие скорость $v_{x} < \sqrt{\frac{2Fl}{m}}$ | ||
| + | |||
| + | #### 2. Находим полную концетрацию $n'$ после торможения | ||
| + | Если всего молекул $n$, а доля таких молекул $f(v_{x})dv_{x}$, то их концетрация: | ||
| + | |||
| + | $dn(v_{x}) = nf(v_{x})dv_{x}$ | ||
| + | |||
| + | Опять таки выходят только те молекулы у которых $v_{x} > \sqrt{\frac{2Fl}{m}}$, тогда их концентрация: | ||
| + | |||
| + | $n' = \int_{\sqrt{\frac{2Fl}{m}}}^{\infty} dn(v_{x}) = \int_{\sqrt{\frac{2Fl}{m}}}^{\infty} nf(v_{x})dv_{x} = n\int_{\sqrt{\frac{2Fl}{m}}}^{\infty}f(v_{x})dv_{x} = n\int_{\sqrt{\frac{2Fl}{m}}}^{\infty}2\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}exp(-\alpha v_{x}^{2})dv_{x} $ | ||
| + | |||
| + | Делаем замену $\psi = \sqrt{\alpha}v_{x} \Rightarrow v_{x} = \frac{\psi}{\sqrt{\alpha}} , dv_{x} = \frac{d\psi}{\sqrt{\alpha}}$ | ||
| + | |||
| + | также пусть $\sqrt{\frac{2\alpha Fl}{m}} = b$ | ||
| + | |||
| + | Подставляем и выносим константы. | ||
| + | |||
| + | $n' = n\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{b}^{\infty}exp(-\psi^{2})d\psi$ | ||
| + | |||
| + | $\int_{b}^{\infty}exp(-\psi^{2})d\psi \approx \frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-b^{2}}$ | ||
| + | |||
| + | Это приближение работает если $b<<1$. Оно получается из разложения в ряд Тейлора, но примем эту формулу как известный факт. Тогда имеем: | ||
| + | |||
| + | $n' = n \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{b}^{\infty}exp(-\psi^{2})d\psi = n \frac{2}{\sqrt{\pi}} \frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-b^{2}} = n* exp(-b^{2}) = n*exp(-\frac{2\alpha Fl}{m})$ | ||
| + | |||
| + | Тогда измение, которое мы искали есть: | ||
| + | \[ | ||
| + | \boxed{\frac{n}{n'}= \frac{1}{exp(-\frac{2\alpha Fl}{m})}} | ||
| + | \] | ||
| + | или | ||
| + | |||
| + | Коцентрация уменьшится на $exp(-\frac{2\alpha Fl}{m})$ | ||
| + | |||
| + | ### \[ \textbf{Решение пункта (б)}\] | ||
| + | |||
| + | #### 1. Нахождение $\rho$. | ||
| + | |||
| + | По барометрической формуле (распределение Больцмана в поле тяжести) | ||
| + | |||
| + | ## Ответ | ||
| + | |||
| @@ -1,11 +1,60 @@ | |||
| ## |
## \[ \textbf{Условие}\] | ||
| $5.2.14.$ |
$5.2.14.$ | ||
| а) Пусть создан пучок одинаковых молекул с функцией распределения | |||
| ### Решение | $f(v_{x}) = 2\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}exp(-\alpha v_{x}^{2}), \ \alpha>0. $ | ||
| 12321 | Масса молекулы равна m. Как изменится число молекул в еденицу объёма, если пучок пройдёт область протяжённостью $l$, в которой на каждую молекулу действует тормозящая сила $F$? | ||
| #### Ответ | б) Плостность частиц вблизи поверхности Земли $\rho_{0},$ их температура равна $T$, а масса частиц равна $m$. Частицы имеют максвелловское распределение по скоростям. Определите плостнотсь частиц и распределение частиц по скоростям на высоте $h$ над Землёй. | ||
| ## \[ \textbf{ Решение} \] | |||
| ### \[ \textbf{Решение пункта (а)}\] | |||
| #### 1. Запишем ЗСЭ для молекулы. | |||
| $\frac{mv_{x}^{2}}{2} = \frac{mv^{2}}{2} - Fl \Rightarrow v = \sqrt{v_{x}^{2} + \frac{2FL}{m}}$ | |||
| Тут - $v$ - есть скорость молекулы на конце пути. И тут же видно, что до конца не долетают те частицы имеющие скорость $v_{x} < \sqrt{\frac{2Fl}{m}}$ | |||
| #### 2. Находим полную концетрацию $n'$ после торможения | |||
| Если всего молекул $n$, а доля таких молекул $f(v_{x})dv_{x}$, то их концетрация: | |||
| $dn(v_{x}) = nf(v_{x})dv_{x}$ | |||
| Опять таки выходят только те молекулы у которых $v_{x} > \sqrt{\frac{2Fl}{m}}$, тогда их концентрация: | |||
| $n' = \int_{\sqrt{\frac{2Fl}{m}}}^{\infty} dn(v_{x}) = \int_{\sqrt{\frac{2Fl}{m}}}^{\infty} nf(v_{x})dv_{x} = n\int_{\sqrt{\frac{2Fl}{m}}}^{\infty}f(v_{x})dv_{x} = n\int_{\sqrt{\frac{2Fl}{m}}}^{\infty}2\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}exp(-\alpha v_{x}^{2})dv_{x} $ | |||
| Делаем замену $\psi = \sqrt{\alpha}v_{x} \Rightarrow v_{x} = \frac{\psi}{\sqrt{\alpha}} , dv_{x} = \frac{d\psi}{\sqrt{\alpha}}$ | |||
| также пусть $\sqrt{\frac{2\alpha Fl}{m}} = b$ | |||
| Подставляем и выносим константы. | |||
| $n' = n\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{b}^{\infty}exp(-\psi^{2})d\psi$ | |||
| $\int_{b}^{\infty}exp(-\psi^{2})d\psi \approx \frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-b^{2}}$ | |||
| Это приближение работает если $b<<1$. Оно получается из разложения в ряд Тейлора, но примем эту формулу как известный факт. Тогда имеем: | |||
| $n' = n \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{b}^{\infty}exp(-\psi^{2})d\psi = n \frac{2}{\sqrt{\pi}} \frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-b^{2}} = n* exp(-b^{2}) = n*exp(-\frac{2\alpha Fl}{m})$ | |||
| Тогда измение, которое мы искали есть: | |||
| \[ | |||
| \boxed{\frac{n}{n'}= \frac{1}{exp(-\frac{2\alpha Fl}{m})}} | |||
| \] | |||
| или | |||
| Коцентрация уменьшится на $exp(-\frac{2\alpha Fl}{m})$ | |||
| ### \[ \textbf{Решение пункта (б)}\] | |||
| #### 1. Нахождение $\rho$. | |||
| По барометрической формуле (распределение Больцмана в поле тяжести) | |||
| ## Ответ | |||