$$\textbf{Условие}$$

$5.2.14.$
а) Пусть создан пучок одинаковых молекул с функцией распределения

$f(v_{x}) = 2\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}exp(-\alpha v_{x}^{2}), \ \alpha>0.$

Масса молекулы равна m. Как изменится число молекул в еденицу объёма, если пучок пройдёт область протяжённостью $l$, в которой на каждую молекулу действует тормозящая сила $F$?

б) Плостность частиц вблизи поверхности Земли $\rho_{0},$ их температура равна $T$, а масса частиц равна $m$. Частицы имеют максвелловское распределение по скоростям. Определите плостнотсь частиц и распределение частиц по скоростям на высоте $h$ над Землёй.

$$\textbf{ Решение}$$

$$\textbf{Решение пункта (а)}$$

1. Запишем ЗСЭ для молекулы.

$\frac{mv_{x}^{2}}{2} = \frac{mv^{2}}{2} - Fl \Rightarrow v = \sqrt{v_{x}^{2} + \frac{2FL}{m}}$

Тут - $v$ - есть скорость молекулы на конце пути. И тут же видно, что до конца не долетают те частицы имеющие скорость $v_{x} < \sqrt{\frac{2Fl}{m}}$

2. Находим полную концетрацию $n'$ после торможения

Если всего молекул $n$, а доля таких молекул $f(v_{x})dv_{x}$, то их концетрация:

$dn(v_{x}) = nf(v_{x})dv_{x}$

Опять таки выходят только те молекулы у которых $v_{x} > \sqrt{\frac{2Fl}{m}}$, тогда их концентрация:

$n' = \int_{\sqrt{\frac{2Fl}{m}}}^{\infty} dn(v_{x}) = \int_{\sqrt{\frac{2Fl}{m}}}^{\infty} nf(v_{x})dv_{x} = n\int_{\sqrt{\frac{2Fl}{m}}}^{\infty}f(v_{x})dv_{x} = n\int_{\sqrt{\frac{2Fl}{m}}}^{\infty}2\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}exp(-\alpha v_{x}^{2})dv_{x}$

Делаем замену $\psi = \sqrt{\alpha}v_{x} \Rightarrow v_{x} = \frac{\psi}{\sqrt{\alpha}} , dv_{x} = \frac{d\psi}{\sqrt{\alpha}}$

также пусть $\sqrt{\frac{2\alpha Fl}{m}} = b$

Подставляем и выносим константы.

$n' = n\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{b}^{\infty}exp(-\psi^{2})d\psi$

$\int_{b}^{\infty}exp(-\psi^{2})d\psi \approx \frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-b^{2}}$

Это приближение работает если $b<<1$. Оно получается из разложения в ряд Тейлора, но примем эту формулу как известный факт. Тогда имеем:

$n' = n \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{b}^{\infty}exp(-\psi^{2})d\psi = n \frac{2}{\sqrt{\pi}} \frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-b^{2}} = n* exp(-b^{2}) = n*exp(-\frac{2\alpha Fl}{m})$

Тогда измение, которое мы искали есть:
$$\boxed{\frac{n}{n'}= \frac{1}{exp(-\frac{2\alpha Fl}{m})}}$$
или

Коцентрация уменьшится на $exp(-\frac{2\alpha Fl}{m})$

$$\textbf{Решение пункта (б)}$$

1. Нахождение $\rho$.

По барометрической формуле (распределение Больцмана в поле тяжести)