Edits to “Условие”, “Решение”, “Идеальный случай”

igor edited
View solution History
revision #19044 parent #19043 ← older newer →
ru/7.3.7.md +81 −3
@@ -1,11 +1,89 @@
### Условие
−$7.3.7.$ [Вставьте условие задачи]
+$7.3.7.$ При подаче на пластины осциллографа высокочастотного сигнала с частотой $\nu\gg1/\tau$ ($\tau$ — время пролета электрона через пластины) на экране осциллографа получена полоса ширины $\delta$. Чувствительность осциллографа в обычном режиме работы $S$. Определите амплитуду сигнала.
+
### Решение
−123
+В решении задачи $7.3.6$ получена формула поперечной скорости электрона сразу после выхода из пространства между отклоняющими пластинами (в терминах синусов):
+$$
+v_y=\frac{2eU_0}{md\omega}\sin\left(\frac{\omega\tau}{2}+\varphi\right)\sin\left(\frac{\omega\tau}{2}\right),\tag{1}
+$$
+
+где $e$ есть заряд электрона, $U_0$ есть амплитуда напряжения на отклоняющих пластинах (амплитуда сигнала), $m$ есть масса электрона, $d$ есть расстояние между отклоняющими пластинами, $\omega$ есть частота сигнала.
+
+Как и в той задаче, не усложним и рассмотрим ситуацию $L\gg l$ (где $L$ есть расстояние от экрана до точки вылета электрона после поперечного поля, $l$ есть продольное расстояние между отклоняющими пластинами).
+
+Смещение электрона поперечное считаем происходит только на пути $L$ после отклоняющих пластин:
+
+$$
+y=v_y\frac{L}{v},\tag{2}
+$$
+
+где $v$ есть продольная скорость электрона.
+
+Величины $L,v$ фиксированы считаем. Полоса ширины $\delta$ выделяет область всевозможных отклонений
+
+$$
+y=\frac{L}{v}\frac{2eU_0}{md\omega}\sin\left(\frac{\omega\tau}{2}+\varphi\right)\sin\left(\frac{\omega\tau}{2}\right)
+$$
+
+(подставили $(1)$ в $(2)$).
+
+Тогда отклонения $y$ должны лежать в интервале
+
+$$
+[-\delta;\delta].
+$$
+
+
+#### Идеальный случай
+
+Для какого-то электрона может оказаться такая начальная фаза $\varphi=\pi/2-\omega\tau/2$, что первый синус станет равным $1$. Поэтому в любом случае максимум смещения
+
+$$
+\boxed{y_\text{m}=\frac{L}{v}\frac{2eU_0}{md\omega}\sin\left(\frac{\omega\tau}{2}\right).\tag{3}}
+$$
+
+Откуда можно выразить после многих преобразований с учетом $y_\text{m}=\delta/2$, $eV=mv^2/2$ и для чувствительности $S=Ll/(2Vd)$:
+
+$$
+\boxed{U_0=\frac{\pi\delta\nu\tau}{2S\sin\left(\pi\nu\tau\right)}.}\tag{4}
+$$
+
+Такой ответ в идеальном случае. Далее станет понятно, почему так.
+
+
+#### Реальный случай
+
+Дело в том, что в реальности частота сигнала может случайно меняться по меньшей мере на величину $\Delta\ll \nu$.
+
+Выражение $(3)$ становится
+
+$$
+y_\text{m}=\frac{L}{v}\frac{2eU_0}{md\omega}\sin\left(\pi\nu\tau\pm\pi\Delta\tau\right).
+$$
+
+По условию можно сказать, что $\pi\nu\tau\gg1$, тогда для малой $\Delta$ справедливо $\pi\Delta\tau\sim1$, что по порядку дает также $\pi\Delta\tau\sim2\pi$. Это означает что добавка $\pi\Delta\tau$ может оказаться любой из области определения синуса и этот самый синус может стать равным $1$, что отвечает интересующему наибольшему максимуму смещения $y_\text{m}$:
+
+$$
+\boxed{y_\text{m}^*=\frac{L}{v}\frac{2eU_0}{md\omega},}
+$$
+
+отвечающему $y_\text{m}^*=\delta/2$. Подходящая $\Delta$ должна сохраниться на всем времени пролета электрона между отклоняющими пластинами.
+
+Из предыдущего так же, как и в прошлый раз можно выразить
+
+$$
+\boxed{U_0=\frac{\pi\delta\nu\tau}{2S}.}
+$$
+
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$
+U_0=\frac{\pi\delta\nu\tau}{2S}.
+$$
+
+Частота сигнала $\nu$ может претерпевать отклонения.