Edit to “Решение”

igor edited Jun 20, 2026, 8:32 AM

View solution History

revision #19045 parent #19044 ← older

ru/7.3.7.md +1 −1

			### Условие

			$7.3.7.$ При подаче на пластины осциллографа высокочастотного сигнала с частотой $\nu\gg1/\tau$ ($\tau$ — время пролета электрона через пластины) на экране осциллографа получена полоса ширины $\delta$. Чувствительность осциллографа в обычном режиме работы $S$. Определите амплитуду сигнала.


			### Решение

			В решении задачи $7.3.6$ получена формула поперечной скорости электрона сразу после выхода из пространства между отклоняющими пластинами (в терминах синусов):

			$$
			v_y=\frac{2eU_0}{md\omega}\sin\left(\frac{\omega\tau}{2}+\varphi\right)\sin\left(\frac{\omega\tau}{2}\right),\tag{1}
			$$

			где $e$ есть заряд электрона, $U_0$ есть амплитуда напряжения на отклоняющих пластинах (амплитуда сигнала), $m$ есть масса электрона, $d$ есть расстояние между отклоняющими пластинами, $\omega$ есть частота сигнала.

			Как и в той задаче, не усложним и рассмотрим ситуацию $L\gg l$ (где $L$ есть расстояние от экрана до точки вылета электрона после поперечного поля, $l$ есть продольное расстояние между отклоняющими пластинами).

			Смещение электрона поперечное считаем происходит только на пути $L$ после отклоняющих пластин:

			$$
			y=v_y\frac{L}{v},\tag{2}
			$$

			где $v$ есть продольная скорость электрона.

			Величины $L,v$ фиксированы считаем. Полоса ширины $\delta$ выделяет область всевозможных отклонений

			$$
			y=\frac{L}{v}\frac{2eU_0}{md\omega}\sin\left(\frac{\omega\tau}{2}+\varphi\right)\sin\left(\frac{\omega\tau}{2}\right)
			$$

			(подставили $(1)$ в $(2)$).

		@@ -34,7 +34,7 @@Решение
			Тогда отклонения $y$ должны лежать в интервале

			$$
		−	[-\delta;\delta].
		+	[-\delta/2;\delta/2].
			$$


			#### Идеальный случай

			Для какого-то электрона может оказаться такая начальная фаза $\varphi=\pi/2-\omega\tau/2$, что первый синус станет равным $1$. Поэтому в любом случае максимум смещения

			$$
			\boxed{y_\text{m}=\frac{L}{v}\frac{2eU_0}{md\omega}\sin\left(\frac{\omega\tau}{2}\right).\tag{3}}
			$$

			Откуда можно выразить после многих преобразований с учетом $y_\text{m}=\delta/2$, $eV=mv^2/2$ и для чувствительности $S=Ll/(2Vd)$:

			$$
			\boxed{U_0=\frac{\pi\delta\nu\tau}{2S\sin\left(\pi\nu\tau\right)}.}\tag{4}
			$$

			Такой ответ в идеальном случае. Далее станет понятно, почему так.


			#### Реальный случай

			Дело в том, что в реальности частота сигнала может случайно меняться по меньшей мере на величину $\Delta\ll \nu$.

			Выражение $(3)$ становится

			$$
			y_\text{m}=\frac{L}{v}\frac{2eU_0}{md\omega}\sin\left(\pi\nu\tau\pm\pi\Delta\tau\right).
			$$

			По условию можно сказать, что $\pi\nu\tau\gg1$, тогда для малой $\Delta$ справедливо $\pi\Delta\tau\sim1$, что по порядку дает также $\pi\Delta\tau\sim2\pi$. Это означает что добавка $\pi\Delta\tau$ может оказаться любой из области определения синуса и этот самый синус может стать равным $1$, что отвечает интересующему наибольшему максимуму смещения $y_\text{m}$:

			$$
			\boxed{y_\text{m}^*=\frac{L}{v}\frac{2eU_0}{md\omega},}
			$$

			отвечающему $y_\text{m}^*=\delta/2$. Подходящая $\Delta$ должна сохраниться на всем времени пролета электрона между отклоняющими пластинами.

			Из предыдущего так же, как и в прошлый раз можно выразить

			$$
			\boxed{U_0=\frac{\pi\delta\nu\tau}{2S}.}
			$$


			#### Ответ

			$$
			U_0=\frac{\pi\delta\nu\tau}{2S}.
			$$

			Частота сигнала $\nu$ может претерпевать отклонения.
		unchanged lines 49