Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #19076 parent #19075 ← older
ru/14.2.16.md +56 −3
@@ -1,11 +1,64 @@
### Условие
−$14.2.16.$ [Вставьте условие задачи]
+$14.2.16.$ От неподвижного атома свет распространяется под углом $\alpha$ к оси $z$. Частота света $\nu$. Под каким углом будет распространяться свет при движении атома со скоростью $\beta c$ вдоль оси $z$? Как изменится частота света?
+
### Решение
−asd
+В системе отсчёта, которая связана с атомом, проекция скорости фотона на ось $z$:
+$$u_{z}=c\cdot\cos\alpha$$
+
+При переходе в систему, где атом движется со скоростью $\beta c$, эта проекция через релятивистскую формулу сложения скоростей будет иметь вид:
+
+$$u_{z}^{'}=\frac{u_{z}+\beta c}{1+\frac{u_{z}\beta c}{c^{2}}}=\frac{c\cos\alpha+\beta c}{1+\frac{c\cos\alpha\cdot\beta c}{c^{2}}}=c\cdot\frac{\cos\alpha+\beta}{1+\beta\cos\alpha}$$
+
+С другой стороны, в лабораторной системе свет также летит со скоростью $c$, но под новым углом $\theta$. Значит:
+
+$$u_{z}^{'}=c\cdot\cos\theta$$
+
+Отсюда:
+
+$$\boxed{\cos\theta=\frac{\cos\alpha+\beta}{1+\beta\cos\alpha}}$$
+
+Пусть в собственной системе атома период излучения:
+
+$$T_{0}=\frac{1}{\nu}$$
+
+Так как атом движется относительно лаборатории, для неподвижного лабораторного наблюдателя время между испусканием двух последовательных гребней волн растягивается из-за релятивистского замедления времени:
+
+$$T_{лаб}=\frac{T_{0}}{\sqrt{1-\frac{\beta^{2}c^{2}}{c^{2}}}}=\frac{T_{0}}{\sqrt{1-\beta^{2}}} \tag{1}$$
+
+Пока атом испускает период волны, он сам смещается в пространстве. За время $T_{лаб}$ он пролетает вдоль оси $z$ расстояние $\Delta z=\beta c\cdot T_{лаб}$. Проекция этого смещения на направление луча света, который в лаборатории идет под углом $\theta$:
+
+$$\Delta s=\Delta z\cdot\cos\theta=\beta c\cdot T_{лаб}\cdot\cos\theta$$
+
+Если атом движется в сторону распространения луча, то второй гребень волны испускается ближе к наблюдателю, чем первый. Второму гребню нужно лететь на расстояние $\Delta s$ меньше, и он тратит меньше времени:
+
+$$\Delta t=\frac{\Delta s}{c}=\beta \cdot T_{лаб}\cdot\cos\theta$$
+
+Истинный период волны $T^{'}$, который зафиксирует прибор в лаборатории это время между испусканиями минус сэкономленное время полета:
+
+$$T^{'}=T_{лаб}-\Delta t=T_{лаб}(1-\beta\cos\theta)$$
+
+Подставим (1):
+
+$$T^{'}=T_{0}\cdot\frac{1-\beta\cos\theta}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$$
+
+Перейдем обратно к частотам:
+
+$$\nu^{'}=\nu\cdot\frac{\sqrt{1-\beta^{2}}}{1-\beta\cos\theta}$$
+
+Подставим в эту формулу ранее найденный $\cos\theta$:
+
+$$\nu^{'}=\nu\cdot\frac{\sqrt{1-\beta^{2}}}{1-\beta\cdot\frac{\cos\alpha+\beta}{1+\beta\cos\alpha}}=\nu\cdot\frac{(1+\beta\cos\alpha)\sqrt{1-\beta^{2}}}{1-\beta^{2}}=\nu\cdot\frac{1+\beta\cos\alpha}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$$
+
+Итак:
+
+$$\boxed{\nu^{'}=\nu\cdot\frac{1+\beta\cos\alpha}{\sqrt{1-\beta^{2}}}}$$
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$\cos\theta=\frac{\cos\alpha+\beta}{1+\beta\cos\alpha}$$
+
+$$\nu^{'}=\nu\cdot\frac{1+\beta\cos\alpha}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$$