Решение

В системе отсчёта, которая связана с атомом, проекция скорости фотона на ось $z$:

$$u_{z}=c\cdot\cos\alpha$$

При переходе в систему, где атом движется со скоростью $\beta c$, эта проекция через релятивистскую формулу сложения скоростей будет иметь вид:

$$u_{z}^{'}=\frac{u_{z}+\beta c}{1+\frac{u_{z}\beta c}{c^{2}}}=\frac{c\cos\alpha+\beta c}{1+\frac{c\cos\alpha\cdot\beta c}{c^{2}}}=c\cdot\frac{\cos\alpha+\beta}{1+\beta\cos\alpha}$$

С другой стороны, в лабораторной системе свет также летит со скоростью $c$, но под новым углом $\theta$. Значит:

$$u_{z}^{'}=c\cdot\cos\theta$$

Отсюда:

$$\boxed{\cos\theta=\frac{\cos\alpha+\beta}{1+\beta\cos\alpha}}$$

Пусть в собственной системе атома период излучения:

$$T_{0}=\frac{1}{\nu}$$

Так как атом движется относительно лаборатории, для неподвижного лабораторного наблюдателя время между испусканием двух последовательных гребней волн растягивается из-за релятивистского замедления времени:

$$T_{лаб}=\frac{T_{0}}{\sqrt{1-\frac{\beta^{2}c^{2}}{c^{2}}}}=\frac{T_{0}}{\sqrt{1-\beta^{2}}} \tag{1}$$

Пока атом испускает период волны, он сам смещается в пространстве. За время $T_{лаб}$ он пролетает вдоль оси $z$ расстояние $\Delta z=\beta c\cdot T_{лаб}$. Проекция этого смещения на направление луча света, который в лаборатории идет под углом $\theta$:

$$\Delta s=\Delta z\cdot\cos\theta=\beta c\cdot T_{лаб}\cdot\cos\theta$$

Если атом движется в сторону распространения луча, то второй гребень волны испускается ближе к наблюдателю, чем первый. Второму гребню нужно лететь на расстояние $\Delta s$ меньше, и он тратит меньше времени:

$$\Delta t=\frac{\Delta s}{c}=\beta \cdot T_{лаб}\cdot\cos\theta$$

Истинный период волны $T^{'}$, который зафиксирует прибор в лаборатории это время между испусканиями минус сэкономленное время полета:

$$T^{'}=T_{лаб}-\Delta t=T_{лаб}(1-\beta\cos\theta)$$

Подставим (1):

$$T^{'}=T_{0}\cdot\frac{1-\beta\cos\theta}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$$

Перейдем обратно к частотам:

$$\nu^{'}=\nu\cdot\frac{\sqrt{1-\beta^{2}}}{1-\beta\cos\theta}$$

Подставим в эту формулу ранее найденный $\cos\theta$:

$$\nu^{'}=\nu\cdot\frac{\sqrt{1-\beta^{2}}}{1-\beta\cdot\frac{\cos\alpha+\beta}{1+\beta\cos\alpha}}=\nu\cdot\frac{(1+\beta\cos\alpha)\sqrt{1-\beta^{2}}}{1-\beta^{2}}=\nu\cdot\frac{1+\beta\cos\alpha}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$$

Итак:

$$\boxed{\nu^{'}=\nu\cdot\frac{1+\beta\cos\alpha}{\sqrt{1-\beta^{2}}}}$$