5.9.5. Вычислите приращение энтропии водорода массы $m$ при переходе его от объема $V_{1}$ и температуры $T_{1}$ к объему $V_{2}$ и температуре $T_{2}$, если газ:
а) нагревается при постоянном объеме $V_{1}$, а затем изотермически расширяется;
б) расширяется при постоянной температуре $T_{1}$ до объема $V_{2}$, затем нагревается при постоянном объеме;
в) адиабатически расширяется до объема $V_{2}$, а затем нагревается при постоянном объеме.
Решение
Поскольку энтропия является функцией состояния, она не зависит от пути, и ответ на все вопросы будет одинаковым.
$$\Delta S = \int_{1}^{2}\frac{\delta Q}{T}$$
Из первого закона термодинамики:
$$\delta Q= dU + \delta A$$
$$\delta Q = \nu C_{V} dT + p dV$$
Разделив обе части на $dT$, получим энтропию:
$$dS = \nu C_{V} \frac{dT}{T} + p \frac{dV}{T}$$
Из закона идеального газа:
$$pV = \nu RT$$
$$\frac{p}{T} = \frac{\nu R}{V}$$
Отсюда получаем:
$$dS= \nu C_{V}\frac{dT}{T} + \nu R\frac{dV}{V}$$
Проведя интегрирование и подставив $C_{V} = \frac{i}{2}R$:
$$\Delta S = \frac{i}{2}\nu R\int_{1}^{2}\frac{dT}{T} + \nu R\int_{1}^{2}\frac{dV}{V}$$
$$\Delta S = \frac{3}{2}\nu R\cdot ln\frac{T_{2}}{T_{1}} + \nu R\cdot ln\frac{V_{2}}{V_{1}}$$