The solution at revision #19168 of , by jzmicer. This is not the current version.

Условие

12.1.34. На рисунке изображено распределение электрического поля двух бегущих сферических волн в нулевой момент времени. Изобразите распределение электрического поля в момент времени . Каким будет распределение электрического поля при ? Определите энергию этих полей.

Решение

Сначала ответим на второй вопрос задачи, так как он проще

Вычислять энергию поля буду в СГС, следуя за автором. Тогда известно, что для электромагнитной волны

Если не учитывать магнитную энергию, знаменатель будет вдвое больше, но судя по ответу, автор считает именно полную энергию. С одной стороны, это означает неточность в условии, но вообще говоря невозможна чисто электрическая бегущая волна без магнитной составляющей, поэтому такой подход имеет смысл.

Волна сферическая, поэтому

Нужно отметить, что не зря Савченко на втором графике в условии отметил 3 точки, идеально ложащиеся на гиперболу , это мы используем.

Теперь построим графики

Сначала несколько важных моментов:

  • Время соответствует сдвигу волны на , считая скоростью распостранения волны. В точке мы видим результат распостранения волны из точки

  • "крайние" возмущения распостраняются с одинаковой скоростью, поэтому "толщина" области с ненулевым полем будет постоянной.

  • Полная энергия волны также постоянна, поэтому при увеличении будет уменьшаться амплитуда.

  • Уравнение такой волны

    Причём вторую форму можно использовать не предполагая, что наши волны синусоидальные.

Если известно распределение в момент времени то

Соответственно

Из этого выражения очень просто получаются нужные графики.
Сначала разберёмся с первой волной:


Опорные точки несложно расчитать самостоятельно. Мы получили растущий участок вместо прямой. На бесконечности ширина ненулевой области сохранится, форма останется приблизительно такой же.

Вторая волна:


Формула не изменится... На бесконечности ширина ненулевой области сохранится, гипербола будет все более "пологой", так как знаменатель будет расти. Ответ выглядит так:

Ответ

См. рис.

СГС