Электромагнитные волны > Свойства излучение и отражение электромагнитных волн > Задача 12.1.34

Условие

$12.1.34$. На рисунке изображено распределение электрического поля двух бегущих сферических волн в нулевой момент времени. Изобразите распределение электрического поля в момент времени $\frac{r_0}{c} $. Каким будет распределение электрического поля при $t \to\infty$? Определите энергию этих полей.

Решение

Сначала ответим на второй вопрос задачи, так как он проще

Вычислять энергию поля буду в СГС, следуя за автором. Тогда известно, что для электромагнитной волны
$$
w=\frac{dW}{dV}=\frac{E^2}{4\pi}
$$
Если не учитывать магнитную энергию, знаменатель будет вдвое больше, но судя по ответу, автор считает именно полную энергию. С одной стороны, это означает неточность в условии, но вообще говоря невозможна чисто электрическая бегущая волна без магнитной составляющей, поэтому такой подход имеет смысл.

Волна сферическая, поэтому
$$
W=\int wdV=\frac{1}{4\pi}\int_{r_1}^{r_2}E(r)^24\pi r^2dr=\int_{r_1}^{r_2}E(r)^2r^2dr
$$
Нужно отметить, что не зря Савченко на втором графике в условии отметил 3 точки, идеально ложащиеся на гиперболу $E(r)=E_0\frac{r_0}{r}$, это мы используем.
$$
W_1=E_0^2\int_{r_0}^{2r_0}r^2dr=E_0^2\frac{8r^3_0-r^3_0}{3}=\frac{7}{3}E_0^2 r_0^3
$$
$$
W_2=\int_{r_0}^{3r_0}\left(E_0\frac{r_0}{r}\right)^2r^2dr=E_0^2r_0^2\int_{r_0}^{3r_0}dr=2E_0^2 r_0^3
$$

Теперь построим графики

Сначала несколько важных моментов:

• Время $t_0=\frac{r_0}{c} $ соответствует сдвигу волны на $r_0$, считая $c$ скоростью распостранения волны. В точке $r+ct_0$ мы видим результат распостранения волны из точки $r$

• "крайние" возмущения распостраняются с одинаковой скоростью, поэтому "толщина" области с ненулевым полем будет постоянной.

• Полная энергия волны также постоянна, поэтому при увеличении $r$ будет уменьшаться амплитуда.

• Уравнение такой волны
  $$
  E(r, t)=\frac{A_0}{r}\cos(\omega t-kr)=\frac{1}{r}F(r-ct)
  $$
  Причём вторую форму можно использовать не предполагая, что наши волны синусоидальные.

Если известно распределение в момент времени $t=0$ то
$$
F(r)=E(r,0)r
$$
Соответственно
$$
E(r,t_0)=\frac{1}{r}F(r-ct_0)=\frac{1}{r}F(r-r_0)=\frac{r-r_0}{r}E(r-r_0)
$$
Из этого выражения очень просто получаются нужные графики.
Сначала разберёмся с первой волной:
$$
E_1(r, 0)=E_0 \qquad r_0\leq r\leq 2r_0
$$
$$
E_1(r, t_0)=\left(1-\frac{r_0}{r}\right)E_0 \qquad 2r_0\leq r\leq 3r_0
$$
Опорные точки несложно расчитать самостоятельно. Мы получили растущий участок вместо прямой. На бесконечности ширина ненулевой области сохранится, форма останется приблизительно такой же.

Вторая волна:
$$
E(r, 0)=E_0\frac{r_0}{r} \qquad r_0\leq r\leq 3r_0
$$
$$
E(r, t_0)=\frac{r-r_0}{r}E_0\frac{r_0}{r-r_0} =E_0\frac{r_0}{r}\qquad 2r_0\leq r\leq 4r_0
$$
Формула не изменится... На бесконечности ширина ненулевой области сохранится, гипербола будет все более "пологой", так как знаменатель будет расти. Ответ выглядит так:

Ответ

См. рис.

$$
W_1 = \frac{7}{3}E_0^2 r_0^3, \quad W_2 = 2E_0^2 r_0^3 \quad (СГС)
$$