Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

jzmicer edited
View solution History
revision #19198 parent #19197 ← older
ru/6.5.6.md +39 −5
@@ -1,11 +1,45 @@
### Условие
+$6.5.6$ Найдите электрическое давление на внутреннюю поверхность сферического конденсатора, заряженного до разности потенциалов $V$ . Радиус внешней обкладки конденсатора $R$, радиус внутренней $r$.
−$6.5.6.$ [Вставьте условие задачи]
−
### Решение
+Сначала докажем известную формулу для давления поля, её будет удобно использовать и в других задачах:
+$$
+P=\frac{dF}{dS}=E\frac{dq}{dS}=\sigma E_{external}
+$$
+Для проводника в вакууме поле у его поверхности связано с плотностью заряда соотношением:
+$$
+\sigma=\varepsilon_0 E
+$$
+Это нетрудно получить из теоремы Гаусса, помня, что внутри проводника поле равно $0$.
−1
+Непосредственно у поверхности элемент площади ведёт себя как бесконечная плоскость. Такая плоскость создаёт собственное поле с каждой стороны $\sigma/(2\varepsilon_0)$. Тогда внешнее поле
+$$
+E_{external}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}=\frac{E}{2}
+$$
+Из этого в итоге:
+$$
+\boxed{p=\frac{\varepsilon_0 E^2}{2}}\tag{1}
+$$
−#### Ответ
+В задаче [6.4.5](https://savchenkosolutions.com/ru/6.4.5) найдена ёмкость сферического конденсатора:
+$$
+C=4\pi\varepsilon_0\frac{Rr}{R-r}\tag{2}
+$$
+Соответственно заряд на каждой сфере
+$$
+Q=VC=4\pi\varepsilon_0V\frac{Rr}{R-r}
+$$
+Поле около внутренней сферы
+$$
+E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}=V\frac{R}{r(R-r)}\tag{3}
+$$
+$(3)\to(1)$
+$$
+P=\frac{\varepsilon_0R^2V^2}{2r^2(R-r)^2}
+$$
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+
+#### Ответ
+$$
+\boxed{P=\frac{\varepsilon_0R^2V^2}{2r^2(R-r)^2}}
+$$