Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/5.9.19.md
+30 −3
| @@ -1,11 +1,38 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $5.9.19.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $5.9.19.$ Имеются два тела с начальной температурой $T_{1}$ и $T_{2}$. Теплоемкость этих тел равна $C_{1}$ и $C_{2}$ и не зависит от температуры. Одно тело используется как нагреватель, другое — как холодильник в тепловой машине. Найдите максимальную работу, которую можно получить таким образом. Провести расчет, когда первое тело — 1 кг кипящей воды, второе — 1 кг воды при температуре $0^{\circ }\ \text{C}$. | ||
| ### Решение | |||
| − | asd | ||
| + | Максимальная работа получается, если тепловая машина работает обратимо по циклу Карно до тех пор, пока температуры тел не сравняются. В изолированной системе суммарное изменение энтропии для обратимого процесса: | ||
| + | $$\Delta S_{сис}=\Delta S_{1}+\Delta S_{2}=0 \tag{1}$$ | ||
| + | |||
| + | Изменение энтропии каждого тела при изменении его температуры от начальной до некоторой общей конечной температуры $T_{x}$: | ||
| + | |||
| + | $$\Delta S_{1}=\int_{T_{1}}^{T_{x}}\frac{C_{1}dT}{T}=C_{1}\ln\left( \frac{T_{x}}{T_{1}} \right) \tag{2}$$ | ||
| + | $$\Delta S_{2}=\int_{T_{2}}^{T_{x}}\frac{C_{2}dT}{T}=C_{2}\ln\left( \frac{T_{x}}{T_{2}} \right) \tag{3}$$ | ||
| + | |||
| + | Подставим (2) и (3) в (1): | ||
| + | |||
| + | $$C_{1}\ln\left( \frac{T_{x}}{T_{1}} \right)+C_{2}\ln\left( \frac{T_{x}}{T_{2}} \right)=0\Longrightarrow \frac{T_{x}^{C_{1}+C_{2}}}{T_{1}^{C_{1}}T_{2}^{C_{2}}}=1\Longrightarrow T_{x}=T_{1}^{\frac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}}}T_{2}^{\frac{C_{2}}{C_{1}+C_{2}}} \tag{4}$$ | ||
| + | |||
| + | Работа равна уменьшению полной внутренней энергии двух тел: | ||
| + | |||
| + | $$A=C_{1}(T_{1}-T_{x})+C_{2}(T_{2}-T_{x})=C_{1}T_{1}+C_{2}T_{2}-(C_{1}+C_{2})T_{x} \tag{5}$$ | ||
| + | |||
| + | Подставляя (4), окончательно получим: | ||
| + | |||
| + | $$\boxed{A=C_{1}T_{1}+C_{2}T_{2}-(C_{1}+C_{2})T_{1}^{\frac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}}}T_{2}^{\frac{C_{2}}{C_{1}+C_{2}}}}$$ | ||
| + | |||
| + | Для холодной и гарячей воды $C_{1}=C_{2}=C=4200\ \text{Дж/К}$ формула преобразится: | ||
| + | |||
| + | $$A=C(T_{1}+T_{2}-2\sqrt{T_{1}T_{2}})=C(\sqrt{T_{1}}-\sqrt{T_{2}})^{2}$$ | ||
| + | |||
| + | Подставив числовые значения, получим: | ||
| + | |||
| + | $$A\approx 32\ \text{кДж}$$ | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $A=C_{1}T_{1}+C_{2}T_{2}-(C_{1}+C_{2})T_{1}^{\frac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}}}T_{2}^{\frac{C_{2}}{C_{1}+C_{2}}}\approx 32\ \text{кДж}$ | ||
| @@ -1,11 +1,38 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $5.9.19.$ [Вставьте условие задачи] | $5.9.19.$ Имеются два тела с начальной температурой $T_{1}$ и $T_{2}$. Теплоемкость этих тел равна $C_{1}$ и $C_{2}$ и не зависит от температуры. Одно тело используется как нагреватель, другое — как холодильник в тепловой машине. Найдите максимальную работу, которую можно получить таким образом. Провести расчет, когда первое тело — 1 кг кипящей воды, второе — 1 кг воды при температуре $0^{\circ }\ \text{C}$. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| asd | Максимальная работа получается, если тепловая машина работает обратимо по циклу Карно до тех пор, пока температуры тел не сравняются. В изолированной системе суммарное изменение энтропии для обратимого процесса: | ||
| $$\Delta S_{сис}=\Delta S_{1}+\Delta S_{2}=0 \tag{1}$$ | |||
| Изменение энтропии каждого тела при изменении его температуры от начальной до некоторой общей конечной температуры $T_{x}$: | |||
| $$\Delta S_{1}=\int_{T_{1}}^{T_{x}}\frac{C_{1}dT}{T}=C_{1}\ln\left( \frac{T_{x}}{T_{1}} \right) \tag{2}$$ | |||
| $$\Delta S_{2}=\int_{T_{2}}^{T_{x}}\frac{C_{2}dT}{T}=C_{2}\ln\left( \frac{T_{x}}{T_{2}} \right) \tag{3}$$ | |||
| Подставим (2) и (3) в (1): | |||
| $$C_{1}\ln\left( \frac{T_{x}}{T_{1}} \right)+C_{2}\ln\left( \frac{T_{x}}{T_{2}} \right)=0\Longrightarrow \frac{T_{x}^{C_{1}+C_{2}}}{T_{1}^{C_{1}}T_{2}^{C_{2}}}=1\Longrightarrow T_{x}=T_{1}^{\frac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}}}T_{2}^{\frac{C_{2}}{C_{1}+C_{2}}} \tag{4}$$ | |||
| Работа равна уменьшению полной внутренней энергии двух тел: | |||
| $$A=C_{1}(T_{1}-T_{x})+C_{2}(T_{2}-T_{x})=C_{1}T_{1}+C_{2}T_{2}-(C_{1}+C_{2})T_{x} \tag{5}$$ | |||
| Подставляя (4), окончательно получим: | |||
| $$\boxed{A=C_{1}T_{1}+C_{2}T_{2}-(C_{1}+C_{2})T_{1}^{\frac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}}}T_{2}^{\frac{C_{2}}{C_{1}+C_{2}}}}$$ | |||
| Для холодной и гарячей воды $C_{1}=C_{2}=C=4200\ \text{Дж/К}$ формула преобразится: | |||
| $$A=C(T_{1}+T_{2}-2\sqrt{T_{1}T_{2}})=C(\sqrt{T_{1}}-\sqrt{T_{2}})^{2}$$ | |||
| Подставив числовые значения, получим: | |||
| $$A\approx 32\ \text{кДж}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $A=C_{1}T_{1}+C_{2}T_{2}-(C_{1}+C_{2})T_{1}^{\frac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}}}T_{2}^{\frac{C_{2}}{C_{1}+C_{2}}}\approx 32\ \text{кДж}$ | ||