Молекулярная физика > Второе начало термодинамики > Задача 5.9.19

Условие

$5.9.19.$ Имеются два тела с начальной температурой $T_{1}$ и $T_{2}$. Теплоемкость этих тел равна $C_{1}$ и $C_{2}$ и не зависит от температуры. Одно тело используется как нагреватель, другое — как холодильник в тепловой машине. Найдите максимальную работу, которую можно получить таким образом. Провести расчет, когда первое тело — 1 кг кипящей воды, второе — 1 кг воды при температуре $0^{\circ }\ \text{C}$.

Решение

Максимальная работа получается, если тепловая машина работает обратимо по циклу Карно до тех пор, пока температуры тел не сравняются. В изолированной системе суммарное изменение энтропии для обратимого процесса:

$$\Delta S_{сис}=\Delta S_{1}+\Delta S_{2}=0 \tag{1}$$

Изменение энтропии каждого тела при изменении его температуры от начальной до некоторой общей конечной температуры $T_{x}$:

$$\Delta S_{1}=\int_{T_{1}}^{T_{x}}\frac{C_{1}dT}{T}=C_{1}\ln\left( \frac{T_{x}}{T_{1}} \right) \tag{2}$$
$$\Delta S_{2}=\int_{T_{2}}^{T_{x}}\frac{C_{2}dT}{T}=C_{2}\ln\left( \frac{T_{x}}{T_{2}} \right) \tag{3}$$

Подставим (2) и (3) в (1):

$$C_{1}\ln\left( \frac{T_{x}}{T_{1}} \right)+C_{2}\ln\left( \frac{T_{x}}{T_{2}} \right)=0\Longrightarrow \frac{T_{x}^{C_{1}+C_{2}}}{T_{1}^{C_{1}}T_{2}^{C_{2}}}=1\Longrightarrow T_{x}=T_{1}^{\frac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}}}T_{2}^{\frac{C_{2}}{C_{1}+C_{2}}} \tag{4}$$

Работа равна уменьшению полной внутренней энергии двух тел:

$$A=C_{1}(T_{1}-T_{x})+C_{2}(T_{2}-T_{x})=C_{1}T_{1}+C_{2}T_{2}-(C_{1}+C_{2})T_{x} \tag{5}$$

Подставляя (4), окончательно получим:

$$\boxed{A=C_{1}T_{1}+C_{2}T_{2}-(C_{1}+C_{2})T_{1}^{\frac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}}}T_{2}^{\frac{C_{2}}{C_{1}+C_{2}}}}$$

Для холодной и гарячей воды $C_{1}=C_{2}=C=4200\ \text{Дж/К}$ формула преобразится:

$$A=C(T_{1}+T_{2}-2\sqrt{T_{1}T_{2}})=C(\sqrt{T_{1}}-\sqrt{T_{2}})^{2}$$

Подставив числовые значения, получим:

$$A\approx 32\ \text{кДж}$$

Ответ

$A=C_{1}T_{1}+C_{2}T_{2}-(C_{1}+C_{2})T_{1}^{\frac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}}}T_{2}^{\frac{C_{2}}{C_{1}+C_{2}}}\approx 32\ \text{кДж}$