Решение

Работа конденсатора строится на двух эффектах. В "пустом" конденсаторе (без диэлектрика) поле внутри создаётся за счёт накопления заряда на обкладках. Ёмкость такого конденсатора равна
$$C_1=\frac{\varepsilon_0S}{d}=C_0$$
Если вставить между обкладок диэлектрик, часть поля будет обусловлено его поляризованностью - одинаковой ориентацией элементарных диполей в среде. Ёмкость такого конденсатора равна
$$C_2=\varepsilon C_0$$
Идея задачи в том, что при замыкании конденсатора свободные заряды перетекают практически мгновенно, а для переорентации диполей в диэлектрике нужно больше времени.

Начальная напряжённость поля в конденсаторе:
$$E_0 = \frac{V}{d}=\frac{\sigma_0}{\varepsilon \varepsilon_0}$$
Начальная плотность свободного заряда на обкладках:
$$\sigma_0 = \varepsilon \varepsilon_0 E_0$$
Плотность связанного (поляризационного) заряда на поверхности диэлектрика в начальный момент:
$$\sigma_{p} = P = (\varepsilon - 1)\varepsilon_0E_0$$

При замыкании свободные заряды перераспределяются практически мгновенно, а связанные заряды не успеввают измениться. Пусть после этого плотность свободного заряда стала равна $\sigma_1$. По условию, разность потенциалов уменьшилась в 3 раза, значит напряжённость поля стала
$$E_1 = \frac{V/3}{d} = \frac{E_0}{3}$$
Поле внутри диэлектрика определяется как сумма полей свободного и связанного зарядов. Помня, что эти поля направлены противоположно:
$$E_1 = \frac{\sigma_1 - \sigma_{p}}{\varepsilon_0}$$
Отсюда оставшийся на обкладках свободный заряд:
$$\sigma_1 = \varepsilon_0 E_0 \left(\varepsilon - \frac{2}{3}\right)$$

После разъединения обкладок свободный заряд $\sigma_1$ остаётся постоянным. Однако диполи диэлектрика начинают постепенно дезориентироваться, связанный заряд $\sigma_{p}$ уменьшается, а поле внутри конденсатора растёт. По условию, когда поляризация полностью установится в соответствии с новым полем, разность потенциалов достигает $2V/3$. Тогда конечная напряжённость поля:
$$E_2 = \frac{2E_0}{3}$$
В равновесном состоянии справедливо:
$$\sigma_1 = \varepsilon \varepsilon_0 E_2 = \varepsilon \varepsilon_0 \frac{2E_0}{3}$$

Приравниваем два выражения для $\sigma_1$:
$$\varepsilon_0 E_0 \left(\varepsilon - \frac{2}{3}\right) = \varepsilon \varepsilon_0 \frac{2E_0}{3}$$
$$\varepsilon - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}\varepsilon\quad\to\quad \varepsilon = 2$$