Электростатика > Электрическое поле при наличии диэлектрика > Задача 6.6.26

Условие

$6.6.26.$ Конденсатор заполнен диэлектриком и заряжен до разности потенциалов $V$ . Обкладки соединяют друг с другом на очень короткое время. Когда разность потенциалов уменьшилась в три раза, обкладки разъединили. После этого разность потенциалов медленно возрастает до $2/3$ своего первоначального значения. Как можно объяснить этот эффект? Найдите диэлектрическую проницаемость вещества, заполняющего конденсатор.

Решение

Работа конденсатора строится на двух эффектах. В "пустом" конденсаторе (без диэлектрика) поле внутри создаётся за счёт накопления заряда на обкладках. Ёмкость такого конденсатора равна
$$
C_1=\frac{\varepsilon_0S}{d}=C_0
$$
Если вставить между обкладок диэлектрик, часть поля будет обусловлено его поляризованностью - одинаковой ориентацией элементарных диполей в среде. Ёмкость такого конденсатора равна
$$
C_2=\varepsilon C_0
$$
Идея задачи в том, что при замыкании конденсатора свободные заряды перетекают практически мгновенно, а для переорентации диполей в диэлектрике нужно больше времени.

Начальная напряжённость поля в конденсаторе:
$$
E_0 = \frac{V}{d}=\frac{\sigma_0}{\varepsilon \varepsilon_0}
$$
Начальная плотность свободного заряда на обкладках:
$$
\sigma_0 = \varepsilon \varepsilon_0 E_0
$$
Плотность связанного (поляризационного) заряда на поверхности диэлектрика в начальный момент:
$$
\sigma_{p} = P = (\varepsilon - 1)\varepsilon_0E_0
$$

При замыкании свободные заряды перераспределяются практически мгновенно, а связанные заряды не успеввают измениться. Пусть после этого плотность свободного заряда стала равна $\sigma_1$. По условию, разность потенциалов уменьшилась в 3 раза, значит напряжённость поля стала
$$
E_1 = \frac{V/3}{d} = \frac{E_0}{3}
$$
Поле внутри диэлектрика определяется как сумма полей свободного и связанного зарядов. Помня, что эти поля направлены противоположно:
$$
E_1 = \frac{\sigma_1 - \sigma_{p}}{\varepsilon_0}
$$
Отсюда оставшийся на обкладках свободный заряд:
$$
\sigma_1 = \varepsilon_0 E_0 \left(\varepsilon - \frac{2}{3}\right)
$$

После разъединения обкладок свободный заряд $\sigma_1$ остаётся постоянным. Однако диполи диэлектрика начинают постепенно дезориентироваться, связанный заряд $\sigma_{p}$ уменьшается, а поле внутри конденсатора растёт. По условию, когда поляризация полностью установится в соответствии с новым полем, разность потенциалов достигает $2V/3$. Тогда конечная напряжённость поля:
$$
E_2 = \frac{2E_0}{3}
$$
В равновесном состоянии справедливо:
$$
\sigma_1 = \varepsilon \varepsilon_0 E_2 = \varepsilon \varepsilon_0 \frac{2E_0}{3}
$$

Приравниваем два выражения для $\sigma_1$:
$$
\varepsilon_0 E_0 \left(\varepsilon - \frac{2}{3}\right) = \varepsilon \varepsilon_0 \frac{2E_0}{3}
$$
$$
\varepsilon - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}\varepsilon\quad\to\quad \varepsilon = 2
$$

Ответ:

Дипольные моменты в диэлектрике ориентируются в электрическом поле с запаздыванием; $\varepsilon = 2$.