| @@ -1,63 +1,51 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $11.4.12.$ [Вставьте условие задачи] |
| $11.4.12.$ а. На векторной диаграмме ток $I = I_0cosωt$ определяется как проекция на ось $x$ вектора $I_0$, который вращается вокруг точки $O$ с угловой скоростью $ω$. Как расположены на этой же диаграмме векторы падения напряжения при протекании этого тока через сопротивление $R$, катушку индуктивности $L$ и конденсатор емкости $C$? Чему равны амплитуды векторов напряжения? |
| |
| |
| ### Решение |
| б. Используя векторную диаграмму, определите падение напряжения в цепи последовательно соединенных катушки индуктивности $L$, сопротивления $R$ и конденсатора емкости $C$ и сдвиг фаз между током и напряжением в цепи, если ток в цепи меняется косинусоидально: $I = I_0cosωt$. |
| |
| |
| ### Statement |
| |
| |
| |
| $11.4.12.$ a. In the vector diagram, the current $I = I_0cosωt$ is defined as the projection onto the $x$-axis of the vector $I_0$, which rotates around the point $O$ with angular velocity $\omega$. How are the voltage drop vectors located on the same diagram when this current flows through the resistance $R$, the inductor $L$ and the capacitance capacitor $C$? What are the amplitudes of the voltage vectors? |
| |
| |
| |
| b. Using a vector diagram, determine the voltage drop in the center of a series-connected inductor $L$, resistance $R$, and capacitance capacitor $C$ and the phase shift between current and voltage in the circuit if the current in the circuit varies cosinusoidally: $I = I_0coswt$. |
| |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Solution |
| ### Решение |
| |
| |
| a) The voltage drop across the resistor is just Ohm's law: |
| а) Падение напряжения на резисторе это просто закон Ома: |
| |
| |
| $$V_R = I_0 R cos \omega t$$ |
| $$V_R = I_0 R cos \omega t$$ |
| |
| |
| There is a charge on the capacitor: |
| Заряд на конденсаторе есть: |
| |
| |
| $$q = V_C C= \int_{0}^{t} I(t) dt$$ |
| $$q = V_C C= \int_{0}^{t} I(t) dt$$ |
| |
| |
| $$V_C C = \frac{I_0}{\omega} sin(\omega t)$$ |
| $$V_C C = \frac{I_0}{\omega} sin(\omega t)$$ |
| |
| |
| $$V_C = \frac{I_0}{\omega C} cos(\omega t - \frac{\pi}{2})$$ |
| $$V_C = \frac{I_0}{\omega C} cos(\omega t - \frac{\pi}{2})$$ |
| |
| |
| Finally, we write down the equation for the voltage across the coil: |
| Наконец запишем уравнение для напряжения на катушке: |
| |
| |
| $$V_L = L \frac{dI}{dt} = -LI_0 \omega sin(\omega t)$$ |
| $$V_L = L \frac{dI}{dt} = -LI_0 \omega sin(\omega t)$$ |
| |
| |
| $$V_L = \frac{dI}{dt} = LI_0 \omega cos(\omega t + \frac{\pi}{2})$$ |
| $$V_L = \frac{dI}{dt} = LI_0 \omega cos(\omega t + \frac{\pi}{2})$$ |
| |
| |
| The phase shift as seen in the coil $+\frac{\pi}{2}$ depends on the current, in the capacitor $-\frac{\pi}{2}$, the resistance has no shift, the amplitudes are equal: |
| Сдвиг фаз как видно у катушки $+\frac{\pi}{2}$ от тока, у конденсатора $-\frac{\pi}{2}$, у сопротивления нет сдвига, амплитуды равны: |
| |
| |
| $$V_R = I_0 R$$ |
| $$V_R = I_0 R$$ |
| $$V_C = \frac{I_0}{\omega C}$$ |
| $$V_C = \frac{I_0}{\omega C}$$ |
| $$V_L = LI_0 \omega$$ |
| $$V_L = LI_0 \omega$$ |
| |
| |
| b) |
| б) |
| To find the amplitude, it is enough to add up our voltages vector based on the diagram obtained in a: |
| Что бы найти амплитуду, достаточно векторно сложить наши напряжения исходя из полученной в а диаграммы: |
| |
| |
| $$V = I_0 \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$$ |
| $$V = I_0 \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$$ |
| |
| |
| Since we have a right triangle formed from vectors, the phase shift is easy to express in terms of a tangent.: |
| Т.к. у нас образуется прямоугольный треугольник из векторов, сдвиг фаз легко выразить через тангенс: |
| |
| |
| $$\varphi = arctg \frac{\omega L - \frac{1}{\omega C}}{R}$$ |
| $$\varphi = arctg \frac{\omega L - \frac{1}{\omega C}}{R}$$ |
| |
| #### Ответ |
| #### Answer |
| |
| a) |
| a) |
| $$V_R = I_0 R$$ |
| $$V_R = I_0 R$$ |
| $$V_C = \frac{I_0}{\omega C}$$ |
| $$V_C = \frac{I_0}{\omega C}$$ |
| $$V_L = LI_0 \omega$$ |
| $$V_L = LI_0 \omega$$ |
|  |
|  |
| b) |
| b) |
| $$V = I_0 \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$$ |
| $$V = I_0 \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C}Ъ)^2}$$ |
| |
| |
| $$\varphi = arctg \frac{\omega L - \frac{1}{\omega C}}{R}$$ |
| $$\varphi = arctg \frac{\omega L - \frac{1}{\omega C}}{R}$$ |
| |
| |
| #### Ответ |
| |
| |
| |
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] |
| |
