11.4.12. а. На векторной диаграмме ток $I = I_0cosωt$ определяется как проекция на ось $x$ вектора $I_0$, который вращается вокруг точки $O$ с угловой скоростью $ω$. Как расположены на этой же диаграмме векторы падения напряжения при протекании этого тока через сопротивление $R$, катушку индуктивности $L$ и конденсатор емкости $C$? Чему равны амплитуды векторов напряжения?
б. Используя векторную диаграмму, определите падение напряжения в цепи последовательно соединенных катушки индуктивности $L$, сопротивления $R$ и конденсатора емкости $C$ и сдвиг фаз между током и напряжением в цепи, если ток в цепи меняется косинусоидально: $I = I_0cosωt$.
For problem $11.4.12$
Решение
а) Падение напряжения на резисторе это просто закон Ома:
$$V_R = I_0 R cos \omega t$$
Заряд на конденсаторе есть:
$$q = V_C C= \int_{0}^{t} I(t) dt$$
$$V_C C = \frac{I_0}{\omega} sin(\omega t)$$
$$V_C = \frac{I_0}{\omega C} cos(\omega t - \frac{\pi}{2})$$
Наконец запишем уравнение для напряжения на катушке:
$$V_L = L \frac{dI}{dt} = -LI_0 \omega sin(\omega t)$$
$$V_L = \frac{dI}{dt} = LI_0 \omega cos(\omega t + \frac{\pi}{2})$$
Сдвиг фаз как видно у катушки $+\frac{\pi}{2}$ от тока, у конденсатора $-\frac{\pi}{2}$, у сопротивления нет сдвига, амплитуды равны:
