Альтернативное решение

Металлическая поверхность двугранного угла является эквипотенциальной поверхностью с потенциалом $\Phi=0$. Чтобы удовлетворить это условие можно заменить влияние индуцированных на металле зарядов одним фиктивным зарядом $+q$, расположенным в четвертом квадранте.

В точке нахождения заряда $-q$ в первом квадранте потенциал создается: реальным зарядом $+q$ из второго квадранта на расстоянии $d\sqrt{2}$, реальным зарядом $-q$ из третьего квадранта на расстоянии $2d$ и и фиктивным зарядом $+q$ на расстоянии $d\sqrt{2}$:

$$\Phi_{1}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( \frac{q}{d\sqrt{2}}-\frac{q}{2d}+\frac{q}{d\sqrt{2}} \right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( \frac{q\sqrt{2}}{d}-\frac{q}{2d} \right)=\frac{q(2\sqrt{2}-1)}{8\pi\varepsilon_{0}d}$$

В точке нахождения заряда $+q$ во втором квадранте потенциал создается: двумя реальными зарядами $-q$ на расстоянии $d\sqrt{2}$ каждый и фиктивным зарядом $+q$ на расстоянии $2d$:

$$\Phi_{2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( -\frac{q}{d\sqrt{2}}-\frac{q}{d\sqrt{2}}+\frac{q}{2d} \right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( -\frac{q\sqrt{2}}{d}+\frac{q}{2d} \right)=-\Phi_{1}$$

В точке нахождения заряда $-q$ в третьем квадранте в силу симметрии потенциал в точности равен потенциалу, как у заряда $-q$ из первого квадранта:

$$\Phi_{3}=\Phi_{1}$$

Энергия взаимодействия реальных зарядов с учетом наведенных на металле зарядов рассчитывается только по трем реальным зарядам. Фиктивный заряд в сумму не включается, так как он находится вне области интегрирования поля (внутри проводника), а его поле лишь математически моделирует поля зарядов, наведенных на угле:

$$W_{0}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{3}q_{i}\Phi_{i}=\frac{1}{2}\left( q_{1}\Phi_{1}+q_{2}\Phi_{2}+q_{3}\Phi_{3} \right)$$

здесь нумерация соответсвует номеру квадранта. Подставим знаки зарядов и знаки их потенциалов:

$$W_{0}=\frac{1}{2}\left( (-q)\cdot(+\Phi_{1})+(+q)\cdot(-\Phi_{1})+(-q)\cdot(+\Phi_{1}) \right)=-\frac{3}{2}q\Phi_{1}=-\frac{3q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_{0}d}$$

Закон сохранения энергии для трех частиц массы $m$:

$$3\cdot\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}+W_{0}=3\cdot\frac{m\upsilon^{2}}{2}$$
$$3\cdot\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}-\frac{3q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_{0}d}=3\cdot\frac{m\upsilon^{2}}{2}$$

Отсюда:

$$\upsilon=\upsilon_{0}\sqrt{1-\frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{8\pi\varepsilon_{0}m\upsilon_{0}^{2}d}}$$

Данное решение справедливо при условии, что начальной кинетической энергии достаточно для преодоления кулоновского притяжения, то есть при:

$$\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}\ge \frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_{0}d}$$

Альтернативное решение

Метод поля. В теории поля [1, 2, 3] электростатическая энергия зарядов равна энергии поля этих зарядов во всем пространстве:

$$W=\frac{\varepsilon\varepsilon_0}{2}\int E^2\,dV,$$

где $E$ есть поле, создаваемое этими зарядами, а интеграл берется по всему пространству.

Из симметрии бесконечный металл вырезает четверть энергии во всем пространстве от той энергии, которую имеют четыре реальных заряда, если заряд-изображение в металле заменяем на реальный и металл убираем. Поэтому пишем для начальной электрической энергии системы с металлом

$$W_0=\frac{3}{4}\left(2\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0(2d)}-4\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0\left(\sqrt2d\right)}+W_\text{соб}\right),$$

где $W_\text{соб}$ есть сумма собственных электрических энергий четырех зарадов (уединенный заряд сам по себе обладает энергией считаем [1, 2, 3]).

Для конечной электрической энергии системы

$$W=\frac{3}{4}\left(W_\text{соб}\right),$$

так как одного заряда из четырех равных нет.

Закон сохранения энергии для системы с металлом :

$$3\cdot\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}+W_{0}=3\cdot\frac{m\upsilon^{2}}{2}+W.$$

Откуда:

$$\upsilon=\upsilon_{0}\sqrt{1-\frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{8\pi\varepsilon_{0}m\upsilon_{0}^{2}d}}.$$

Данное решение справедливо при условии, что начальной кинетической энергии достаточно для преодоления кулоновского притяжения, то есть при:

$$\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}\ge \frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_{0}d}.$$

Примечание: работу поля над приповерхностными индуцированными зарядами в металле при их перераспределении мы не учитываем, потому что они даже уходя в глубь металла проходят пренебрежимо малое расстояние, то есть работа поля пренебрежимо мала над приповерхностными зарядами. Поле в приповерхностном слое перпендикулярно проводнику (см. также параграф 23 задачу 7 в [1]).