| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $7.4.10.$ Скорости трёх заряженных частиц массы m изображены на рисунке. Расстояние от каждой частицы до ребра металлического двугранного угла d. Заряды первых двух частиц, летящих в противоположных направлениях, равны –q, заряд третьей частицы q. Определите скорость этих частиц на большом расстоянии друг от друга. | | $7.4.10.$ Скорости трёх заряженных частиц массы m изображены на рисунке. Расстояние от каждой частицы до ребра металлического двугранного угла d. Заряды первых двух частиц, летящих в противоположных направлениях, равны –q, заряд третьей частицы q. Определите скорость этих частиц на большом расстоянии друг от друга. |
| | | |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| | | |
| ### Альтернативное решение | | ### Альтернативное решение |
| | | |
| Металлическая поверхность двугранного угла является эквипотенциальной поверхностью с потенциалом $\Phi=0$. Чтобы удовлетворить это условие можно заменить влияние индуцированных на металле зарядов одним фиктивным зарядом $+q$, расположенным в четвертом квадранте. | | Металлическая поверхность двугранного угла является эквипотенциальной поверхностью с потенциалом $\Phi=0$. Чтобы удовлетворить это условие можно заменить влияние индуцированных на металле зарядов одним фиктивным зарядом $+q$, расположенным в четвертом квадранте. |
| | | |
| В точке нахождения заряда $-q$ в первом квадранте потенциал создается: реальным зарядом $+q$ из второго квадранта на расстоянии $d\sqrt{2}$, реальным зарядом $-q$ из третьего квадранта на расстоянии $2d$ и и фиктивным зарядом $+q$ на расстоянии $d\sqrt{2}$: | | В точке нахождения заряда $-q$ в первом квадранте потенциал создается: реальным зарядом $+q$ из второго квадранта на расстоянии $d\sqrt{2}$, реальным зарядом $-q$ из третьего квадранта на расстоянии $2d$ и и фиктивным зарядом $+q$ на расстоянии $d\sqrt{2}$: |
| | | |
| $$\Phi_{1}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( \frac{q}{d\sqrt{2}}-\frac{q}{2d}+\frac{q}{d\sqrt{2}} \right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( \frac{q\sqrt{2}}{d}-\frac{q}{2d} \right)=\frac{q(2\sqrt{2}-1)}{8\pi\varepsilon_{0}d}$$ | | $$\Phi_{1}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( \frac{q}{d\sqrt{2}}-\frac{q}{2d}+\frac{q}{d\sqrt{2}} \right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( \frac{q\sqrt{2}}{d}-\frac{q}{2d} \right)=\frac{q(2\sqrt{2}-1)}{8\pi\varepsilon_{0}d}$$ |
| | | |
| В точке нахождения заряда $+q$ во втором квадранте потенциал создается: двумя реальными зарядами $-q$ на расстоянии $d\sqrt{2}$ каждый и фиктивным зарядом $+q$ на расстоянии $2d$: | | В точке нахождения заряда $+q$ во втором квадранте потенциал создается: двумя реальными зарядами $-q$ на расстоянии $d\sqrt{2}$ каждый и фиктивным зарядом $+q$ на расстоянии $2d$: |
| | | |
| $$\Phi_{2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( -\frac{q}{d\sqrt{2}}-\frac{q}{d\sqrt{2}}+\frac{q}{2d} \right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( -\frac{q\sqrt{2}}{d}+\frac{q}{2d} \right)=-\Phi_{1}$$ | | $$\Phi_{2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( -\frac{q}{d\sqrt{2}}-\frac{q}{d\sqrt{2}}+\frac{q}{2d} \right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( -\frac{q\sqrt{2}}{d}+\frac{q}{2d} \right)=-\Phi_{1}$$ |
| | | |
| В точке нахождения заряда $-q$ в третьем квадранте в силу симметрии потенциал в точности равен потенциалу, как у заряда $-q$ из первого квадранта: | | В точке нахождения заряда $-q$ в третьем квадранте в силу симметрии потенциал в точности равен потенциалу, как у заряда $-q$ из первого квадранта: |
| | | |
| $$\Phi_{3}=\Phi_{1}$$ | | $$\Phi_{3}=\Phi_{1}$$ |
| | | |
| Энергия взаимодействия реальных зарядов с учетом наведенных на металле зарядов рассчитывается только по трем реальным зарядам. Фиктивный заряд в сумму не включается, так как он находится вне области интегрирования поля (внутри проводника), а его поле лишь математически моделирует поля зарядов, наведенных на угле: | | Энергия взаимодействия реальных зарядов с учетом наведенных на металле зарядов рассчитывается только по трем реальным зарядам. Фиктивный заряд в сумму не включается, так как он находится вне области интегрирования поля (внутри проводника), а его поле лишь математически моделирует поля зарядов, наведенных на угле: |
| | | |
| $$W_{0}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{3}q_{i}\Phi_{i}=\frac{1}{2}\left( q_{1}\Phi_{1}+q_{2}\Phi_{2}+q_{3}\Phi_{3} \right)$$ | | $$W_{0}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{3}q_{i}\Phi_{i}=\frac{1}{2}\left( q_{1}\Phi_{1}+q_{2}\Phi_{2}+q_{3}\Phi_{3} \right)$$ |
| | | |
| здесь нумерация соответсвует номеру квадранта. Подставим знаки зарядов и знаки их потенциалов: | | здесь нумерация соответсвует номеру квадранта. Подставим знаки зарядов и знаки их потенциалов: |
| | | |
| $$W_{0}=\frac{1}{2}\left( (-q)\cdot(+\Phi_{1})+(+q)\cdot(-\Phi_{1})+(-q)\cdot(+\Phi_{1}) \right)=-\frac{3}{2}q\Phi_{1}=-\frac{3q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_{0}d}$$ | | $$W_{0}=\frac{1}{2}\left( (-q)\cdot(+\Phi_{1})+(+q)\cdot(-\Phi_{1})+(-q)\cdot(+\Phi_{1}) \right)=-\frac{3}{2}q\Phi_{1}=-\frac{3q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_{0}d}$$ |
| | | |
| Закон сохранения энергии для трех частиц массы $m$: | | Закон сохранения энергии для трех частиц массы $m$: |
| | | |
| $$3\cdot\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}+W_{0}=3\cdot\frac{m\upsilon^{2}}{2}$$ | | $$3\cdot\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}+W_{0}=3\cdot\frac{m\upsilon^{2}}{2}$$ |
| $$3\cdot\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}-\frac{3q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_{0}d}=3\cdot\frac{m\upsilon^{2}}{2}$$ | | $$3\cdot\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}-\frac{3q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_{0}d}=3\cdot\frac{m\upsilon^{2}}{2}$$ |
| | | |
| Отсюда: | | Отсюда: |
| | | |
| $$\upsilon=\upsilon_{0}\sqrt{1-\frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{8\pi\varepsilon_{0}m\upsilon_{0}^{2}d}}$$ | | $$\upsilon=\upsilon_{0}\sqrt{1-\frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{8\pi\varepsilon_{0}m\upsilon_{0}^{2}d}}$$ |
| | | |
| Данное решение справедливо при условии, что начальной кинетической энергии достаточно для преодоления кулоновского притяжения, то есть при: | | Данное решение справедливо при условии, что начальной кинетической энергии достаточно для преодоления кулоновского притяжения, то есть при: |
| | | |
| $$\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}\ge \frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_{0}d}$$ | | $$\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}\ge \frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_{0}d}$$ |
| | | |
| | | |
| ### Альтернативное решение | | ### Альтернативное решение |
| | | |
| Метод поля. В теории поля [1,2,3] электростатическая энергия зарядов равна энергии поля этих зарядов во всем пространстве: | | Метод поля. В теории поля [1,2,3] электростатическая энергия зарядов равна энергии поля этих зарядов во всем пространстве: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| W=\frac{\varepsilon\varepsilon_0}{2}\int E^2\,dV, | | W=\frac{\varepsilon\varepsilon_0}{2}\int E^2\,dV, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $E$ есть поле, создаваемое этими зарядами, а интеграл берется по всему пространству. | | где $E$ есть поле, создаваемое этими зарядами, а интеграл берется по всему пространству. |
| | | |
| Из симметрии бесконечный металл вырезает четверть энергии во всем пространстве от той энергии, которую имеют четыре реальных заряда, если заряд-изображение в металле заменяем на реальный и металл убираем. Поэтому пишем для начальной электрической энергии системы с металлом | | Из симметрии бесконечный металл вырезает четверть энергии во всем пространстве от той энергии, которую имеют четыре реальных заряда, если заряд-изображение в металле заменяем на реальный и металл убираем. Поэтому пишем для начальной электрической энергии системы с металлом |
| | | |
| $$ | | $$ |
| W_0=\frac{3}{4}\left(2\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0(2d)}-4\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0\left(\sqrt2d\right)}+W_\text{соб}\right), | | W_0=\frac{3}{4}\left(2\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0(2d)}-4\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0\left(\sqrt2d\right)}+W_\text{соб}\right), |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $W_\text{соб}$ есть сумма собственных электрических энергий четырех зарадов (уединенный заряд сам по себе обладает энергией считаем [1,2,3]). | | где $W_\text{соб}$ есть сумма собственных электрических энергий четырех зарадов (уединенный заряд сам по себе обладает энергией считаем [1,2,3]). |
| | | |
| Для конечной электрической энергии системы | | Для конечной электрической энергии системы |
| | | |
| $$ | | $$ |
| W=\frac{3}{4}\left(W_\text{соб}\right), | | W=\frac{3}{4}\left(W_\text{соб}\right), |
| $$ | | $$ |
| | | |
| так как одного заряда из четырех равных нет. | | так как одного заряда из четырех равных нет. |
| | | |
| Закон сохранения энергии для системы с металлом : | | Закон сохранения энергии для системы с металлом : |
| | | |
| $$ | | $$ |
| 3\cdot\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}+W_{0}=3\cdot\frac{m\upsilon^{2}}{2}+W. | | 3\cdot\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}+W_{0}=3\cdot\frac{m\upsilon^{2}}{2}+W. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Откуда: | | Откуда: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \upsilon=\upsilon_{0}\sqrt{1-\frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{8\pi\varepsilon_{0}m\upsilon_{0}^{2}d}}. | | \upsilon=\upsilon_{0}\sqrt{1-\frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{8\pi\varepsilon_{0}m\upsilon_{0}^{2}d}}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Данное решение справедливо при условии, что начальной кинетической энергии достаточно для преодоления кулоновского притяжения, то есть при: | | Данное решение справедливо при условии, что начальной кинетической энергии достаточно для преодоления кулоновского притяжения, то есть при: |
| | | |
| $$ | | $$ |
