Edits to “Условие”, “Решение”, “Пункт а”

igor edited
View solution History
revision #19595 parent #19594 ← older newer →
ru/3.4.15.md +173 −3
@@ -1,11 +1,181 @@
### Условие
−$3.4.15.$ [Вставьте условие задачи]
+$3.4.15.$ а. Двум шарикам массы $m$, которые связаны друг с другом и стенками тремя пружинами жесткости $k$, одновременно сообщили одинаковую по модулю скорость, направленную вдоль пружин. Найдите частоту колебаний шариков, если их скорости противоположно направлены. Одинаково направлены.
+б. Свободные колебания сложных систем являются суммой (наложением) нескольких гармонических колебаний с разными частотами. Если первому шарику в задаче $3.4.15\text{а}$ сообщить вдоль пружины скорость $v$, то последующее движение шариков будет суммой двух движений: движения шариков, которым сообщили скорость $v/2$ и $-v/2$, и движения шариков, которым сообщили скорость $v/2$ и $v/2$. Определите, пользуясь этим, скорость шариков в последующие за началом колебаний моменты времени. Чему равно максимальное смещение первого шарика? второго? максимальное удлинение средней пружины?
+
+в. Решите задачу $3.4.15\text{б}$ в случае, если первому шарику сообщили скорость $3v$, а второму скорость $v$.
+
+pic
+
+
### Решение
−123
+#### Пункт а
+
+Из симметрии при встречном движении центр средней пружины на месте и второй закон Ньютона для каждого
+
+$$
+-kx-2kx=m\ddot x
+$$
+
+(каждое тело колеблется как на одной целой пружине с одной стороны и половине целой с другой стороны).
+
+Отсюда первая нормальная частота (быстрая)
+
+$$
+\omega_1=\sqrt{\frac{3k}{m}}.
+$$
+
+Из симметрии при согласном движении средняя пружина не деформируется и второй закон Ньютона для каждого
+
+$$
+-kx=m\ddot x
+$$
+
+(каждое тело колеблется как на одной целой пружине).
+
+Отсюда вторая нормальная частота (медленная)
+
+$$
+\omega_2=\sqrt{\frac{k}{m}}.
+$$
+
+
+#### Пункт б
+
+Из свойств гармонических колебаний скорость первого при встречном и согласном движениях $v_1^{(1)},v_2^{(1)}$ соответственно
+
+\begin{gather*}
+v_1^{(1)}=\frac{v}{2}\cos\omega_1t,\\\\
+v_2^{(1)}=\frac{v}{2}\cos\omega_2t.
+\end{gather*}
+
+По условию $x=x_1+x_2$, значит, $v=v_1+v_2$ (по взятию производной).
+
+Поэтому скорость первого истинная
+
+$$
+v^{(1)}=\frac{v}{2}\left(\cos\omega_1t+\cos\omega_2t\right).
+$$
+
+Для второго тела аналогичными рассуждениями получаем
+
+$$
+v^{(2)}=\frac{v}{2}\left(\cos\omega_2t-\cos\omega_1t\right).
+$$
+
+Уравнения координат каждого тела находим интегрированием их скоростей
+
+\begin{gather*}
+x^{(1)}=\frac{v}{2}\left(\frac{1}{\omega_1}\sin\omega_1t+\frac{1}{\omega_2}\sin\omega_2t\right),\\\\
+x^{(2)}=\frac{v}{2}\left(\frac{1}{\omega_2}\sin\omega_2t-\frac{1}{\omega_1}\sin\omega_1t\right)
+\end{gather*}
+
+(учтено, для постоянных интегрирования, что при $t=0$ имеем $x^{(1)}=0$ и $x^{(2)}=0$).
+
+Сумма гармонических функций с иррациональным отношением частот по фигурам Лиссажу показывает, что возможны все одновременные комбинации значений этих функций из их областей значений. Значит, возможно одновременно получить максимумы функций в скобках функций $x^{(1)}$ и $x^{(2)}$:
+
+\begin{gather*}
+x_\text{max}^{(1)}=\frac{v}{2}\left(\frac{1}{\omega_1}+\frac{1}{\omega_2}\right),\\\\
+x_\text{max}^{(2)}=\frac{v}{2}\left(\frac{1}{\omega_2}+\frac{1}{\omega_1}\right).
+\end{gather*}
+
+Для пружины средней
+
+$$
+\Delta=x^{(2)}-x^{(1)}=\frac{v}{2}\left(-\frac{2}{\omega_1}\sin\omega_1t\right),
+$$
+
+то есть ее максимальное удлинение
+
+$$
+\Delta_\text{max}=\frac{v}{\omega_1}.
+$$
+
+
+#### Пункт в
+
+По идее пункта б считаем последующее движение суммой двух таких: движения шариков, которым сообщили скорость $2v$ и $2v$, и движения шариков, которым сообщили скорость $v$ и $-v$.
+
+Для первого скорость истинная
+
+$$
+v^{(1)}=v\left(2\cos\omega_2t+\cos\omega_1t\right).
+$$
+
+Для второго скорость истинная
+
+$$
+v^{(2)}=v\left(2\cos\omega_2t-\cos\omega_1t\right).
+$$
+
+Их координаты так же как и в пункте б находим:
+
+$$
+x^{(1)}=v\left(\frac{1}{\omega_2}2\sin\omega_2t+\frac{1}{\omega_1}\sin\omega_1t\right)
+$$
+
+и
+
+$$
+x^{(2)}=v\left(\frac{1}{\omega_2}2\sin\omega_2t-\frac{1}{\omega_1}\sin\omega_1t\right)
+$$
+
+Их максимумы при одновременных максимумах подскобочных функций (синусов) достижимы по фигурам Лиссажу. То есть
+
+$$
+x_\text{max}^{(1)}=x_\text{max}^{(2)}=v\left(\frac{2}{\omega_2}+\frac{1}{\omega_1}\right).
+$$
+
+Для пружины средней
+
+$$
+\Delta=x^{(2)}-x^{(1)}=v\left(-\frac{2}{\omega_1}\sin\omega_1t\right),
+$$
+
+то есть ее максимальное удлинение
+
+$$
+\Delta_\text{max}=\frac{2v}{\omega_1}.
+$$
+
+Обоснования метода для сложных колебательных систем на физ. уровне в книгах [1,2]. Дополнительная книга [2] содержит элементарные справочные сведения по этому вопросу.
+
+
+С савченко один ответ не совпадает.
+
+
+#### Литература
+
+[1] Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика. Механика (в 10 т.).
+
+[2] Зоммерфельд А. Механика. (Лекции по теоретической физике.)
+
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+а.
+
+$$
+\omega_1=\sqrt{\frac{3k}{m}},\quad \omega_2=\sqrt{\frac{k}{m}}.
+$$
+
+б.
+
+\begin{gather*}
+v^{(1)}=\frac{v}{2}\left(\cos\omega_1t+\cos\omega_2t\right),\\\\
+v^{(2)}=\frac{v}{2}\left(\cos\omega_2t-\cos\omega_1t\right),\\\\
+x_\text{max}^{(1)}=x_\text{max}^{(2)}=\frac{v}{2}\left(\frac{1}{\omega_1}+\frac{1}{\omega_2}\right),\\\\
+\Delta_\text{max}=\frac{v}{\omega_1}.
+\end{gather*}
+
+в.
+
+\begin{gather*}
+v^{(1)}=v\left(2\cos\omega_2t+\cos\omega_1t\right),\\\\
+v^{(2)}=v\left(2\cos\omega_2t-\cos\omega_1t\right),\\\\
+x_\text{max}^{(1)}=x_\text{max}^{(2)}=v\left(\frac{2}{\omega_2}+\frac{1}{\omega_1}\right),\\\\
+\Delta_\text{max}=\frac{2v}{\omega_1}.
+\end{gather*}