Решение

Условие

$7.2.9.$ Тонкий параллельный пучок заряженных частиц, ускоренных разностью потенциалов $V_0$, проходит через центр равномерно заряженной сферической полости. На каком расстоянии сфокусируется этот пучок, если потенциал в центре сферы $V \ll V_0$?

Решение

В данном решении задача рассматривается в строгом соответствии с текстом условия: мишень представляет собой равномерно заряженную сферическую полость (пустую внутри оболочку), весь заряд которой сосредоточен на поверхности.

1. Вычисление поперечного импульса

Для нахождения поперечного импульса $p_\perp$, который приобретает частица, летящая на расстоянии $x$ от оси пучка ($x \ll R$), воспользуемся интегральной формой теоремы Гаусса. Выделим мысленный бесконечный цилиндр радиуса $x$, ось которого совпадает с траекторией частицы.

Поток вектора напряженности через боковую поверхность этого цилиндра:
$$\Phi = \int E_\perp \cdot 2\pi x \, dz = 2\pi x \int E_\perp \, dz$$

По теореме Гаусса этот поток равен заряду внутри цилиндра, деленному на $\varepsilon_0$. Наш мысленный цилиндр вырезает из тонкой сферической оболочки две маленькие площадки (на входе и на выходе). Площадь каждой такой площадки примерно равна $\pi x^2$.

Суммарный заряд этих двух площадок (где $\sigma$ — поверхностная плотность заряда оболочки):
$$\Delta q = 2 (\pi x^2 \sigma) = 2 \pi x^2 \sigma$$

Приравниваем выражения:
$$2\pi x \int E_\perp \, dz = \frac{2 \pi x^2 \sigma}{\varepsilon_0}$$

Отсюда находим интеграл поперечного поля вдоль всей траектории:
$$\int E_\perp \, dz = \frac{\sigma x}{\varepsilon_0}$$

Поперечный импульс, получаемый частицей за время полета:
$$p_\perp = \int F_\perp \, dt = \int q E_\perp \frac{dz}{v} = \frac{q}{v} \int E_\perp \, dz$$
$$p_\perp = \frac{q \sigma x}{\varepsilon_0 v}$$

2. Геометрия траектории и фокусное расстояние

Приобретя поперечный импульс $p_\perp$, частица начинает двигаться к оси пучка. Из подобия скоростей и геометрических размеров (где $f$ — искомое фокусное расстояние):
$$\frac{f}{x} = \frac{v}{v_\perp}$$

Поскольку поперечная скорость $v_\perp = \frac{p_\perp}{m}$, выражаем фокус:
$$f = x \frac{m v}{p_\perp} = x \frac{m v}{\frac{q \sigma x}{\varepsilon_0 v}} = \frac{m v^2 \varepsilon_0}{q \sigma}$$

3. Связь с параметрами условия

Кинетическая энергия частиц пучка задается ускоряющей разностью потенциалов $V_0$:
$$\frac{mv^2}{2} = qV_0 \implies mv^2 = 2qV_0$$

Потенциал в центре полой заряженной сферы радиуса $R$ равен:
$$V = \frac{\sigma R}{\varepsilon_0} \implies \sigma = \frac{\varepsilon_0 V}{R}$$

Подставляем $mv^2$ и $\sigma$ в формулу для фокусного расстояния:
$$f = \frac{(2qV_0) \varepsilon_0}{q \left( \frac{\varepsilon_0 V}{R} \right)}$$
$$f = 2R \frac{V_0}{V}$$

*Примечание: Данный результат является строгим следствием для пустой сферической оболочки. Ответ в самом задачнике вероятно получен для альтернативной модели — сплошного заряженного шара, в котором проделан сквозной цилиндрический канал.*