| @@ -1,61 +1,66 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $7.2.9.$ [Вставьте условие задачи] |
| | + | $7.2.9.$ Тонкий параллельный пучок заряженных частиц, ускоренных разностью потенциалов $V_0$, проходит через центр равномерно заряженной сферической полости. На каком расстоянии сфокусируется этот пучок, если потенциал в центре сферы $V \ll V_0$? |
| | | |
| | | ### Решение |
| | | |
| | − | ### Условие |
| | + | В данном решении задача рассматривается в строгом соответствии с текстом условия: модель представляет собой равномерно заряженную сферическую полость (пустую внутри оболочку), весь заряд которой сосредоточен на поверхности и у которой есть 2 небольших отверстия для пролета пучка заряженных частиц. |
| | | |
| | − | $7.2.9.$ Тонкий параллельный пучок заряженных частиц, ускоренных разностью потенциалов $V_0$, проходит через центр равномерно заряженной сферической полости. На каком расстоянии сфокусируется этот пучок, если потенциал в центре сферы $V \ll V_0$? |
| | + | #### 1. Модель задачи |
| | | |
| | − | ### Решение |
| | + | Для начала обоснуем, почему продольную скорость частиц $v$ можно считать неизменной. Начальная кинетическая энергия частиц равна $qV_0$. При пролете сквозь поле заряженной сферы энергия частицы изменяется на величину порядка $qV$. Поскольку по условию $V \ll V_0$, изменение энергии $qV \ll qV_0$ является пренебрежимо малым. Мы вправе считать, что частица летит через всю систему с постоянной продольной скоростью $v$. |
| | + | Для расчета электрических полей применим "принцип суперпозиции". Представим реальную оболочку с двумя отверстиями как наложение двух систем: |
| | + | 1. Идеальная сплошная заряженная сфера с поверхностной плотностью $\sigma$. |
| | + | 2. Два небольших диска с плотностью заряда $-\sigma$, расположенных в местах входного и выходного отверстий (они «вырезают» дырки в сплошной сфере). |
| | | |
| | − | В данном решении задача рассматривается в строгом соответствии с текстом условия: мишень представляет собой равномерно заряженную сферическую полость (пустую внутри оболочку), весь заряд которой сосредоточен на поверхности. |
| | + | Поле внутри идеальной сплошной сферы строго равно нулю. Следовательно, всё электрическое поле внутри полости создается исключительно этими двумя локальными дисками. Поле каждого диска максимально вблизи самого отверстия и стремительно затухает при удалении от него. Поэтому изменение импульса частицы происходит не плавно, а в виде двух резких «толчков» в моменты прохождения сквозь отверстия. |
| | | |
| | − | #### 1. Вычисление поперечного импульса |
| | + | #### 2. Первый поперечный импульс на входе |
| | | |
| | − | Для нахождения поперечного импульса $p_\perp$, который приобретает частица, летящая на расстоянии $x$ от оси пучка ($x \ll R$), воспользуемся интегральной формой теоремы Гаусса. Выделим мысленный бесконечный цилиндр радиуса $x$, ось которого совпадает с траекторией частицы. |
| | + | Пусть частица летит на расстоянии $x$ от оси симметрии пучка ($x \ll R$). Чтобы найти суммарный поперечный импульс, полученный при прохождении первого отверстия, применим теорему Гаусса. Выделим мысленный цилиндр радиуса $x$, ось которого совпадает с траекторией частицы, охватывающий только область первого отверстия (от пространства далеко снаружи до области достаточно глубоко внутри полости, где поле первого диска уже затухло). |
| | | |
| | − | Поток вектора напряженности через боковую поверхность этого цилиндра: |
| | − | $$ \Phi = \int E_\perp \cdot 2\pi x \, dz = 2\pi x \int E_\perp \, dz $$ |
| | + | Цилиндр вырезает из заряженной оболочки площадку с зарядом $\Delta q_1 = \pi x^2 \sigma$. |
| | + | По теореме Гаусса поток вектора напряженности через боковую поверхность этого цилиндра: |
| | + | $$ 2\pi x \int_{1} E_\perp dz = \frac{\pi x^2 \sigma}{\varepsilon_0} $$ |
| | | |
| | − | По теореме Гаусса этот поток равен заряду внутри цилиндра, деленному на $\varepsilon_0$. Наш мысленный цилиндр вырезает из тонкой сферической оболочки две маленькие площадки (на входе и на выходе). Площадь каждой такой площадки примерно равна $\pi x^2$. |
| | + | Отсюда интеграл поперечного поля в зоне первого отверстия: |
| | + | $$ \int_{1} E_\perp dz = \frac{\sigma x}{2\varepsilon_0} $$ |
| | | |
| | − | Суммарный заряд этих двух площадок (где $\sigma$ — поверхностная плотность заряда оболочки): |
| | − | $$ \Delta q = 2 (\pi x^2 \sigma) = 2 \pi x^2 \sigma $$ |
| | + | Поперечный импульс, который частица приобретает, пробивая локальное поле входного отверстия: |
| | + | $$ p_{\perp 1} = \int q E_\perp \frac{dz}{v} = \frac{q}{v} \int_{1} E_\perp dz = \frac{q \sigma x}{2\varepsilon_0 v} $$ |
| | | |
| | − | Приравниваем выражения: |
| | − | $$ 2\pi x \int E_\perp \, dz = \frac{2 \pi x^2 \sigma}{\varepsilon_0} $$ |
| | + | #### 3. Проверка фокусировки внутри полости |
| | | |
| | − | Отсюда находим интеграл поперечного поля вдоль всей траектории: |
| | − | $$ \int E_\perp \, dz = \frac{\sigma x}{\varepsilon_0} $$ |
| | + | Получив первый поперечный импульс, частица летит вглубь полости. У нее появляется поперечная скорость $v_\perp = \frac{p_{\perp 1}}{m}$, направленная к оси пучка. |
| | | |
| | − | Поперечный импульс, получаемый частицей за время полета: |
| | − | $$ p_\perp = \int F_\perp \, dt = \int q E_\perp \frac{dz}{v} = \frac{q}{v} \int E_\perp \, dz $$ |
| | − | $$ p_\perp = \frac{q \sigma x}{\varepsilon_0 v} $$ |
| | + | Время, за которое частица долетела бы до оси, равно $t = \frac{x}{v_\perp}$. За это же время по горизонтали она пролетит расстояние $f_1$ (фокусное расстояние после первого отверстия): |
| | + | $$f_1 = vt = v \frac{x}{v_\perp} = x \frac{v}{v_\perp} = x \frac{mv}{p_{\perp 1}}$$ |
| | | |
| | − | #### 2. Геометрия траектории и фокусное расстояние |
| | + | Подставляем найденный импульс: |
| | + | $$f_1 = x \frac{mv}{\frac{q \sigma x}{2\varepsilon_0 v}} = \frac{2mv^2 \varepsilon_0}{q \sigma}$$ |
| | | |
| | − | Приобретя поперечный импульс $p_\perp$, частица начинает двигаться к оси пучка. Из подобия скоростей и геометрических размеров (где $f$ — искомое фокусное расстояние): |
| | − | $$ \frac{f}{x} = \frac{v}{v_\perp} $$ |
| | + | Кинетическая энергия частиц задается ускоряющим напряжением: $mv^2 = 2qV_0$. |
| | + | Потенциал в центре заряженной сферы $V = \frac{\sigma R}{\varepsilon_0}$, откуда $\sigma = \frac{\varepsilon_0 V}{R}$. |
| | + | Подставляем это в формулу для $f_1$: |
| | + | $$f_1 = \frac{2(2qV_0) \varepsilon_0}{q \left(\frac{\varepsilon_0 V}{R}\right)} = 4R \frac{V_0}{V}$$ |
| | | |
| | − | Поскольку поперечная скорость $v_\perp = \frac{p_\perp}{m}$, выражаем фокус: |
| | − | $$ f = x \frac{m v}{p_\perp} = x \frac{m v}{\frac{q \sigma x}{\varepsilon_0 v}} = \frac{m v^2 \varepsilon_0}{q \sigma} $$ |
| | + | По условию $V \ll V_0$, а значит, $f_1 \gg R$. Пучок летит слишком быстро и не успевает сфокусироваться внутри полости. Частицы долетают до выходного отверстия практически на том же расстоянии $x$ от оси. |
| | | |
| | − | #### 3. Связь с параметрами условия |
| | + | #### 4. Второй импульс и итоговое фокусное расстояние |
| | | |
| | − | Кинетическая энергия частиц пучка задается ускоряющей разностью потенциалов $V_0$: |
| | − | $$ \frac{mv^2}{2} = qV_0 \implies mv^2 = 2qV_0 $$ |
| | + | Пролетая сквозь выходное отверстие на удалении $x$, частица пересекает локальное поле второго «вырезанного» диска и получает второй, абсолютно такой же поперечный импульс: |
| | + | $$ p_{\perp 2} = \frac{q \sigma x}{2\varepsilon_0 v} $$ |
| | | |
| | − | Потенциал в центре полой заряженной сферы радиуса $R$ равен: |
| | − | $$ V = \frac{\sigma R}{\varepsilon_0} \implies \sigma = \frac{\varepsilon_0 V}{R} $$ |
| | + | Полный поперечный импульс после вылета из мишени: |
| | + | $$ p_\perp = p_{\perp 1} + p_{\perp 2} = \frac{q \sigma x}{\varepsilon_0 v} $$ |
| | | |
| | − | Подставляем $mv^2$ и $\sigma$ в формулу для фокусного расстояния: |
| | − | $$ f = \frac{(2qV_0) \varepsilon_0}{q \left( \frac{\varepsilon_0 V}{R} \right)} $$ |
| | − | $$ f = 2R \frac{V_0}{V} $$ |
| | + | Итоговое фокусное расстояние $f$ всей системы: |
| | + | $$ f = x \frac{mv}{p_\perp} = x \frac{mv}{\frac{q \sigma x}{\varepsilon_0 v}} = \frac{mv^2 \varepsilon_0}{q \sigma} $$ |
| | | |
| | − | *Примечание: Данный результат является строгим следствием для пустой сферической оболочки. Ответ в самом задачнике вероятно получен для альтернативной модели — сплошного заряженного шара, в котором проделан сквозной цилиндрический канал.* |
| | + | Снова подставляя $mv^2 = 2qV_0$ и $\sigma = \frac{\varepsilon_0 V}{R}$, получаем окончательный ответ: |
| | + | $$ f = \frac{(2qV_0) \varepsilon_0}{q \left(\frac{\varepsilon_0 V}{R}\right)} = 2R \frac{V_0}{V} $$ |
| | | |
| | | #### Ответ |
| | + | $$f=2R\frac{V_0}{V}$$ |
| | | |
| | − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] |
| | + | *Примечание: Данный результат является строгим следствием для пустой сферической оболочки. Ответ в самом задачнике вероятно получен для альтернативной модели — сплошного заряженного шара, в котором проделан сквозной цилиндрический канал.* |
