| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $4.1.12^*.$ Нижняя грань правильного тетраэдра с ребром $a$, полностью погруженного в жидкость плотности $\rho$, находится на глубине $h$. Определите силу, действующую со стороны жидкости на боковую грань тетраэдра, если атмосферное давление равно $P$. | | $4.1.12^*.$ Нижняя грань правильного тетраэдра с ребром $a$, полностью погруженного в жидкость плотности $\rho$, находится на глубине $h$. Определите силу, действующую со стороны жидкости на боковую грань тетраэдра, если атмосферное давление равно $P$. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| Геометрические параметры правильного тетраэдра с ребром $a$: | | Геометрические параметры правильного тетраэдра с ребром $a$: |
| Площадь одной грани: | | Площадь одной грани: |
| $$ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} $$ | | $$ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} $$ |
| Объем тетраэдра: | | Объем тетраэдра: |
| $$ V = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12} $$ | | $$ V = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12} $$ |
| Косинус двугранного угла при основании: $\cos\alpha = \frac{1}{3}$. | | Косинус двугранного угла при основании: $\cos\alpha = \frac{1}{3}$. |
| Синус этого угла: $\sin\alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$. | | Синус этого угла: $\sin\alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$. |
| | | |
| Эту задачу можно решить двумя независимыми способами. | | Эту задачу можно решить двумя независимыми способами. |
| | | |
| ### Способ 1: Использование закона Архимеда | | ### Способ 1: Использование закона Архимеда |
| | | |
| Рассмотрим силы давления, действующие на замкнутую поверхность тетраэдра. | | Рассмотрим силы давления, действующие на замкнутую поверхность тетраэдра. |
| Сила давления на нижнюю горизонтальную грань направлена строго вертикально вверх. Давление на глубине $h$ равно $p = P + \rho gh$, поэтому: | | Сила давления на нижнюю горизонтальную грань направлена строго вертикально вверх. Давление на глубине $h$ равно $p = P + \rho gh$, поэтому: |
| $$ F_{\text{осн}} = (P + \rho gh)S $$ | | $$ F_{\text{осн}} = (P + \rho gh)S $$ |
| | | |
| Согласно закону Архимеда, равнодействующая сил гидростатического давления на замкнутую поверхность направлена вверх и равна $\rho g V$. Атмосферное давление $P$ действует на все грани и в сумме дает нулевой вклад в подъемную силу. | | Согласно закону Архимеда, равнодействующая сил гидростатического давления на замкнутую поверхность направлена вверх и равна $\rho g V$. Атмосферное давление $P$ действует на все грани и в сумме дает нулевой вклад в подъемную силу. |
| | | |
| Обозначим искомую силу давления на одну боковую грань как $F$. В силу симметрии горизонтальные составляющие сил давления на три боковые грани взаимно компенсируются. Вертикальная составляющая силы давления на одну боковую грань направлена вниз и равна $F \cos\alpha$. | | Обозначим искомую силу давления на одну боковую грань как $F$. В силу симметрии горизонтальные составляющие сил давления на три боковые грани взаимно компенсируются. Вертикальная составляющая силы давления на одну боковую грань направлена вниз и равна $F \cos\alpha$. |
| | | |
| Запишем условие равновесия сил в проекции на вертикальную ось: | | Запишем условие равновесия сил в проекции на вертикальную ось: |
| $$ F_{\text{осн}} - 3F \cos\alpha = \rho g V $$ | | $$ F_{\text{осн}} - 3F \cos\alpha = \rho g V $$ |
| $$ F_{\text{осн}} - 3F \cdot \frac{1}{3} = \rho g V \implies F_{\text{осн}} - F = \rho g V $$ | | $$ F_{\text{осн}} - 3F \cdot \frac{1}{3} = \rho g V \implies F_{\text{осн}} - F = \rho g V $$ |
| | | |
| Отсюда выражаем искомую силу $F$: | | Отсюда выражаем искомую силу $F$: |
| $$ F = F_{\text{осн}} - \rho g V = (P + \rho gh)S - \rho g V $$ | | $$ F = F_{\text{осн}} - \rho g V = (P + \rho gh)S - \rho g V $$ |
| | | |
| Подставим геометрические параметры: | | Подставим геометрические параметры: |
| $$ F = (P + \rho gh) \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} - \rho g \frac{a^3 \sqrt{2}}{12} $$ | | $$ F = (P + \rho gh) \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} - \rho g \frac{a^3 \sqrt{2}}{12} $$ |
| | | |
| ### Способ 2: Через среднее давление (метод центроида) | | ### Способ 2: Через среднее давление (метод центроида) |
| | | |
| Сила давления жидкости на плоскую фигуру равна произведению площади фигуры на давление в её геометрическом центре (центроиде): | | Сила давления жидкости на плоскую фигуру равна произведению площади фигуры на давление в её геометрическом центре (центроиде): |
| $$ F = p_{\text{ср}} S = (P + \rho g h_c) S $$ | | $$ F = p_{\text{ср}} S = (P + \rho g h_c) S $$ |
| где $h_c$ — глубина расположения центра масс боковой грани. | | где $h_c$ — глубина расположения центра масс боковой грани. |
| | | |
| Центр масс треугольника (боковой грани) лежит на расстоянии $1/3$ её высоты от основания. Высота грани $H_{\text{гр}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Значит, расстояние от дна тетраэдра до центроида вдоль самой грани равно: | | Центр масс треугольника (боковой грани) лежит на расстоянии $1/3$ её высоты от основания. Высота грани $H_{\text{гр}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Значит, расстояние от дна тетраэдра до центроида вдоль самой грани равно: |
| $$ l = \frac{H_{\text{гр}}}{3} = \frac{a\sqrt{3}}{6} $$ | | $$ l = \frac{H_{\text{гр}}}{3} = \frac{a\sqrt{3}}{6} $$ |
| | | |
| Подставляем $h_c$ в формулу силы: | | Подставляем $h_c$ в формулу силы: |
| $$ F = \left( P + \rho g \left( h - \frac{a\sqrt{6}}{9} \right) \right) \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} $$ | | $$ F = \left( P + \rho g \left( h - \frac{a\sqrt{6}}{9} \right) \right) \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} $$ |
| | | |
| Раскроем скобки, чтобы показать идентичность результатов обоих способов: | | Раскроем скобки, чтобы показать идентичность результатов обоих способов: |
| $$ F = (P + \rho gh) \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} - \rho g \frac{a\sqrt{6}}{9} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} $$ | | $$ F = (P + \rho gh) \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} - \rho g \frac{a\sqrt{6}}{9} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} $$ |
| $$ F = (P + \rho gh) \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} - \rho g \frac{a^3 \sqrt{18}}{36} = (P + \rho gh) \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} - \rho g \frac{a^3 \sqrt{2}}{12} $$ | | $$ F = (P + \rho gh) \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} - \rho g \frac{a^3 \sqrt{18}}{36} = (P + \rho gh) \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} - \rho g \frac{a^3 \sqrt{2}}{12} $$ |
| | | |
| Оба метода привели к одному выражению. Для получения финального ответа сгруппируем слагаемые: | | Оба метода привели к одному выражению. Для получения финального ответа сгруппируем слагаемые: |
| $$ F = \frac{1}{4} P a^2 \sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{12} \rho g h a^2 - \frac{\sqrt{2}}{12} \rho g a^3 $$ | | $$ F = \frac{1}{4} P a^2 \sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{12} \rho g h a^2 - \frac{\sqrt{2}}{12} \rho g a^3 $$ |
| $$ F = \frac{1}{12} \rho g a^2 (3\sqrt{3}h - \sqrt{2}a) + \frac{1}{4} P a^2 \sqrt{3} $$ | | $$ F = \frac{1}{12} \rho g a^2 (3\sqrt{3}h - \sqrt{2}a) + \frac{1}{4} P a^2 \sqrt{3} $$ |
| | | |
| ### Ответ | | ### Ответ |
| $$ F = \frac{1}{12} \rho g a^2 (3\sqrt{3}h - \sqrt{2}a) + \frac{1}{4} P a^2 \sqrt{3} $$ | | $$ F = \frac{1}{12} \rho g a^2 (3\sqrt{3}h - \sqrt{2}a) + \frac{1}{4} P a^2 \sqrt{3} $$ |
