$4.1.12^*.$ Нижняя грань правильного тетраэдра с ребром $a$, полностью погруженного в жидкость плотности $\rho$, находится на глубине $h$. Определите силу, действующую со стороны жидкости на боковую грань тетраэдра, если атмосферное давление равно $P$.
Геометрические параметры правильного тетраэдра с ребром $a$:
Площадь одной грани:
$$ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$
Объем тетраэдра:
$$ V = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}$$
Косинус двугранного угла при основании: $\cos\alpha = \frac{1}{3}$.
Синус этого угла: $\sin\alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
Эту задачу можно решить двумя независимыми способами.
### Способ 1: Использование закона Архимеда
Рассмотрим силы давления, действующие на замкнутую поверхность тетраэдра.
Сила давления на нижнюю горизонтальную грань направлена строго вертикально вверх. Давление на глубине $h$ равно $p = P + \rho gh$, поэтому:
$$ F_{\text{осн}} = (P + \rho gh)S $$
Согласно закону Архимеда, равнодействующая сил гидростатического давления на замкнутую поверхность направлена вверх и равна $\rho g V$. Атмосферное давление $P$ действует на все грани и в сумме дает нулевой вклад в подъемную силу.
Обозначим искомую силу давления на одну боковую грань как $F$. В силу симметрии горизонтальные составляющие сил давления на три боковые грани взаимно компенсируются. Вертикальная составляющая силы давления на одну боковую грань направлена вниз и равна $F \cos\alpha$.
Запишем условие равновесия сил в проекции на вертикальную ось:
$$ F_{\text{осн}} - 3F \cos\alpha = \rho g V $$
$$ F_{\text{осн}} - 3F \cdot\frac{1}{3} = \rho g V \implies F_{\text{осн}} - F = \rho g V $$
Отсюда выражаем искомую силу $F$:
$$ F = F_{\text{осн}} - \rho g V = (P + \rho gh)S - \rho g V $$
Подставим геометрические параметры:
$$ F = (P + \rho gh) \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} - \rho g \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}$$
### Способ 2: Через среднее давление (метод центроида)
Сила давления жидкости на плоскую фигуру равна произведению площади фигуры на давление в её геометрическом центре (центроиде):
$$ F = p_{\text{ср}} S = (P + \rho g h_c) S $$
где $h_c$ — глубина расположения центра масс боковой грани.
Центр масс треугольника (боковой грани) лежит на расстоянии $1/3$ её высоты от основания. Высота грани $H_{\text{гр}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Значит, расстояние от дна тетраэдра до центроида вдоль самой грани равно:
$$ l = \frac{H_{\text{гр}}}{3} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$
@@ -47,7 +47,7 @@Способ 2: Через среднее давление (метод центроида)
Спроецируем это расстояние на вертикальную ось, чтобы найти, на сколько центроид приподнят над нижней гранью:
$$\Delta z = l \sin\alpha = \frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{a\sqrt{6}}{9}$$
−
заметим - что она равна 1/3 от высоты самого тетраэдра.
+
Заметим - что она равна 1/3 от высоты самого тетраэдра.
Тогда глубина центроида боковой грани:
$$ h_c = h - \Delta z = h - \frac{a\sqrt{6}}{9}$$
Подставляем $h_c$ в формулу силы:
$$ F = \left( P + \rho g \left( h - \frac{a\sqrt{6}}{9}\right) \right) \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$
Раскроем скобки, чтобы показать идентичность результатов обоих способов:
$$ F = (P + \rho gh) \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} - \rho g \frac{a\sqrt{6}}{9}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$
$$ F = (P + \rho gh) \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} - \rho g \frac{a^3 \sqrt{18}}{36} = (P + \rho gh) \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} - \rho g \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}$$
Оба метода привели к одному выражению. Для получения финального ответа сгруппируем слагаемые:
$$ F = \frac{1}{4} P a^2 \sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{12}\rho g h a^2 - \frac{\sqrt{2}}{12}\rho g a^3 $$
$$ F = \frac{1}{12}\rho g a^2 (3\sqrt{3}h - \sqrt{2}a) + \frac{1}{4} P a^2 \sqrt{3}$$
### Ответ
$$ F = \frac{1}{12}\rho g a^2 (3\sqrt{3}h - \sqrt{2}a) + \frac{1}{4} P a^2 \sqrt{3}$$
unchanged lines 14
### Условие
### Условие
$4.1.12^*.$ Нижняя грань правильного тетраэдра с ребром $a$, полностью погруженного в жидкость плотности $\rho$, находится на глубине $h$. Определите силу, действующую со стороны жидкости на боковую грань тетраэдра, если атмосферное давление равно $P$.
$4.1.12^*.$ Нижняя грань правильного тетраэдра с ребром $a$, полностью погруженного в жидкость плотности $\rho$, находится на глубине $h$. Определите силу, действующую со стороны жидкости на боковую грань тетраэдра, если атмосферное давление равно $P$.
Геометрические параметры правильного тетраэдра с ребром $a$:
Геометрические параметры правильного тетраэдра с ребром $a$:
Площадь одной грани:
Площадь одной грани:
$$ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$
$$ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$
Объем тетраэдра:
Объем тетраэдра:
$$ V = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}$$
$$ V = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}$$
Косинус двугранного угла при основании: $\cos\alpha = \frac{1}{3}$.
Косинус двугранного угла при основании: $\cos\alpha = \frac{1}{3}$.
Синус этого угла: $\sin\alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
Синус этого угла: $\sin\alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
Эту задачу можно решить двумя независимыми способами.
Эту задачу можно решить двумя независимыми способами.
### Способ 1: Использование закона Архимеда
### Способ 1: Использование закона Архимеда
Рассмотрим силы давления, действующие на замкнутую поверхность тетраэдра.
Рассмотрим силы давления, действующие на замкнутую поверхность тетраэдра.
Сила давления на нижнюю горизонтальную грань направлена строго вертикально вверх. Давление на глубине $h$ равно $p = P + \rho gh$, поэтому:
Сила давления на нижнюю горизонтальную грань направлена строго вертикально вверх. Давление на глубине $h$ равно $p = P + \rho gh$, поэтому:
$$ F_{\text{осн}} = (P + \rho gh)S $$
$$ F_{\text{осн}} = (P + \rho gh)S $$
Согласно закону Архимеда, равнодействующая сил гидростатического давления на замкнутую поверхность направлена вверх и равна $\rho g V$. Атмосферное давление $P$ действует на все грани и в сумме дает нулевой вклад в подъемную силу.
Согласно закону Архимеда, равнодействующая сил гидростатического давления на замкнутую поверхность направлена вверх и равна $\rho g V$. Атмосферное давление $P$ действует на все грани и в сумме дает нулевой вклад в подъемную силу.
Обозначим искомую силу давления на одну боковую грань как $F$. В силу симметрии горизонтальные составляющие сил давления на три боковые грани взаимно компенсируются. Вертикальная составляющая силы давления на одну боковую грань направлена вниз и равна $F \cos\alpha$.
Обозначим искомую силу давления на одну боковую грань как $F$. В силу симметрии горизонтальные составляющие сил давления на три боковые грани взаимно компенсируются. Вертикальная составляющая силы давления на одну боковую грань направлена вниз и равна $F \cos\alpha$.
Запишем условие равновесия сил в проекции на вертикальную ось:
Запишем условие равновесия сил в проекции на вертикальную ось:
$$ F_{\text{осн}} - 3F \cos\alpha = \rho g V $$
$$ F_{\text{осн}} - 3F \cos\alpha = \rho g V $$
$$ F_{\text{осн}} - 3F \cdot\frac{1}{3} = \rho g V \implies F_{\text{осн}} - F = \rho g V $$
$$ F_{\text{осн}} - 3F \cdot\frac{1}{3} = \rho g V \implies F_{\text{осн}} - F = \rho g V $$
Отсюда выражаем искомую силу $F$:
Отсюда выражаем искомую силу $F$:
$$ F = F_{\text{осн}} - \rho g V = (P + \rho gh)S - \rho g V $$
$$ F = F_{\text{осн}} - \rho g V = (P + \rho gh)S - \rho g V $$
Подставим геометрические параметры:
Подставим геометрические параметры:
$$ F = (P + \rho gh) \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} - \rho g \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}$$
$$ F = (P + \rho gh) \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} - \rho g \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}$$
### Способ 2: Через среднее давление (метод центроида)
### Способ 2: Через среднее давление (метод центроида)
Сила давления жидкости на плоскую фигуру равна произведению площади фигуры на давление в её геометрическом центре (центроиде):
Сила давления жидкости на плоскую фигуру равна произведению площади фигуры на давление в её геометрическом центре (центроиде):
$$ F = p_{\text{ср}} S = (P + \rho g h_c) S $$
$$ F = p_{\text{ср}} S = (P + \rho g h_c) S $$
где $h_c$ — глубина расположения центра масс боковой грани.
где $h_c$ — глубина расположения центра масс боковой грани.
Центр масс треугольника (боковой грани) лежит на расстоянии $1/3$ её высоты от основания. Высота грани $H_{\text{гр}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Значит, расстояние от дна тетраэдра до центроида вдоль самой грани равно:
Центр масс треугольника (боковой грани) лежит на расстоянии $1/3$ её высоты от основания. Высота грани $H_{\text{гр}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Значит, расстояние от дна тетраэдра до центроида вдоль самой грани равно:
$$ l = \frac{H_{\text{гр}}}{3} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$
$$ l = \frac{H_{\text{гр}}}{3} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$
@@ -47,7 +47,7 @@Способ 2: Через среднее давление (метод центроида)
Спроецируем это расстояние на вертикальную ось, чтобы найти, на сколько центроид приподнят над нижней гранью:
Спроецируем это расстояние на вертикальную ось, чтобы найти, на сколько центроид приподнят над нижней гранью:
$$\Delta z = l \sin\alpha = \frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{a\sqrt{6}}{9}$$
$$\Delta z = l \sin\alpha = \frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{a\sqrt{6}}{9}$$
заметим - что она равна 1/3 от высоты самого тетраэдра.
Заметим - что она равна 1/3 от высоты самого тетраэдра.
Тогда глубина центроида боковой грани:
Тогда глубина центроида боковой грани:
$$ h_c = h - \Delta z = h - \frac{a\sqrt{6}}{9}$$
$$ h_c = h - \Delta z = h - \frac{a\sqrt{6}}{9}$$
Подставляем $h_c$ в формулу силы:
Подставляем $h_c$ в формулу силы:
$$ F = \left( P + \rho g \left( h - \frac{a\sqrt{6}}{9}\right) \right) \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$
$$ F = \left( P + \rho g \left( h - \frac{a\sqrt{6}}{9}\right) \right) \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$
Раскроем скобки, чтобы показать идентичность результатов обоих способов:
Раскроем скобки, чтобы показать идентичность результатов обоих способов:
$$ F = (P + \rho gh) \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} - \rho g \frac{a\sqrt{6}}{9}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$
$$ F = (P + \rho gh) \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} - \rho g \frac{a\sqrt{6}}{9}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$
$$ F = (P + \rho gh) \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} - \rho g \frac{a^3 \sqrt{18}}{36} = (P + \rho gh) \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} - \rho g \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}$$
$$ F = (P + \rho gh) \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} - \rho g \frac{a^3 \sqrt{18}}{36} = (P + \rho gh) \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} - \rho g \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}$$
Оба метода привели к одному выражению. Для получения финального ответа сгруппируем слагаемые:
Оба метода привели к одному выражению. Для получения финального ответа сгруппируем слагаемые:
$$ F = \frac{1}{4} P a^2 \sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{12}\rho g h a^2 - \frac{\sqrt{2}}{12}\rho g a^3 $$
$$ F = \frac{1}{4} P a^2 \sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{12}\rho g h a^2 - \frac{\sqrt{2}}{12}\rho g a^3 $$
$$ F = \frac{1}{12}\rho g a^2 (3\sqrt{3}h - \sqrt{2}a) + \frac{1}{4} P a^2 \sqrt{3}$$
$$ F = \frac{1}{12}\rho g a^2 (3\sqrt{3}h - \sqrt{2}a) + \frac{1}{4} P a^2 \sqrt{3}$$
### Ответ
### Ответ
$$ F = \frac{1}{12}\rho g a^2 (3\sqrt{3}h - \sqrt{2}a) + \frac{1}{4} P a^2 \sqrt{3}$$
$$ F = \frac{1}{12}\rho g a^2 (3\sqrt{3}h - \sqrt{2}a) + \frac{1}{4} P a^2 \sqrt{3}$$
