Решение

Problem

$3.5.18.$ Если в момент $t = 0$ осциллятор, колеблющийся с затуханием, находится в положении равновесия и его скорость равна $v_0$, то координата его в момент времени $t \neq 0$ определяется формулой
$$x = \frac{v_0}{\omega} \exp(-\gamma t) \sin \omega t,$$
где $\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$, $\gamma < \omega_0 = \sqrt{k/m}$, $k, m$ и $\gamma$ — соответственно жесткость, масса и коэффициент затухания осциллятора. Покажите, что свойства осциллятора, описанные в задачах 3.5.12 и 3.5.15, не противоречат этому утверждению.

Решение

**Связь с задачей 3.5.12:**

В задаче 3.5.12 рассматриваются два осциллятора с одинаковыми отношениями $k/m = \omega_0^2$ и $b/m = 2\gamma$.

Из формулы для координаты $x(t)$ видно, что она зависит только от начальной скорости $v_0$, собственной частоты $\omega_0$ и коэффициента затухания $\gamma$.

Поскольку параметры $\omega_0$ и $\gamma$ у двух осцилляторов совпадают, при одинаковых начальных условиях ($v_0$) уравнение выдаст тождественно равные зависимости $x(t)$. Противоречий нет.

**Связь с задачей 3.5.15:**

Найдем скорость осциллятора $v(t)$, взяв производную координаты $x(t)$ по времени:
$$v(t) = x'(t) = \frac{v_0}{\omega} \left( -\gamma \exp(-\gamma t) \sin \omega t + \omega \exp(-\gamma t) \cos \omega t \right)$$

Осциллятор проходит положение равновесия при $x(t) = 0$, что соответствует условию $\sin \omega t = 0$. В эти моменты $\cos \omega t = \pm 1$.

Подставляя эти значения в выражение для скорости, получаем модуль скорости в моменты прохождения равновесия:
$$|v(t)| = \frac{v_0}{\omega} \left| 0 + \omega \exp(-\gamma t) (\pm 1) \right| = v_0 \exp(-\gamma t)$$

По условию задачи 3.5.15, через время $T$ скорость уменьшается в $n$ раз. Запишем это:
$$|v(T)| = v_0 \exp(-\gamma T) = \frac{v_0}{n}$$

Отсюда получаем фактор затухания за один период $T$:
$$\exp(-\gamma T) = \frac{1}{n}$$

Определим скорость через время $2T$:
$$|v(2T)| = v_0 \exp(-2\gamma T) = v_0 (\exp(-\gamma T))^2 = v_0 \left(\frac{1}{n}\right)^2 = \frac{v_0}{n^2}$$

Аналогично, через время $3T$:
$$|v(3T)| = v_0 \exp(-3\gamma T) = v_0 (\exp(-\gamma T))^3 = v_0 \left(\frac{1}{n}\right)^3 = \frac{v_0}{n^3}$$

Полученные аналитические выражения строго показывают, что скорость в положениях равновесия убывает в геометрической прогрессии. Противоречий с выводами задачи 3.5.15 нет.