Колебания и волны > Вынужденные и затухающие колебания > Задача 3.5.18

Условие

Если в момент осциллятор, колеблющийся с затуханием, находится в положении равновесия и его скорость равна , то координата его в момент времени определяется формулой

где , , и — соответственно жесткость, масса и коэффициент затухания осциллятора. Покажите, что свойства осциллятора, описанные в задачах 3.5.12 и 3.5.15, не противоречат этому утверждению.

Решение

Связь с задачей 3.5.12:

В задаче 3.5.12 рассматриваются два осциллятора с одинаковыми отношениями и .

Из формулы для координаты видно, что она зависит только от начальной скорости , собственной частоты и коэффициента затухания .

Поскольку параметры и у двух осцилляторов совпадают, при одинаковых начальных условиях () уравнение выдаст тождественно равные зависимости . Противоречий нет.

Связь с задачей 3.5.15:

Найдем скорость осциллятора , взяв производную координаты по времени:

Осциллятор проходит положение равновесия при , что соответствует условию . В эти моменты .

Подставляя эти значения в выражение для скорости, получаем модуль скорости в моменты прохождения равновесия:

По условию задачи 3.5.15, через время скорость уменьшается в раз. Запишем это:

Отсюда получаем фактор затухания за один период :

Определим скорость через время :

Аналогично, через время :

Полученные аналитические выражения строго показывают, что скорость в положениях равновесия убывает в геометрической прогрессии. Противоречий с выводами задачи 3.5.15 нет.

Ответ

Смотрите решение