| @@ -1,26 +1,19 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $3.5.18.$ [Вставьте условие задачи] |
| |
| |
| |
| ### Решение |
| |
| |
| |
| ### Problem |
| |
| |
| |
| $3.5.18.$ Если в момент $t = 0$ осциллятор, колеблющийся с затуханием, находится в положении равновесия и его скорость равна $v_0$, то координата его в момент времени $t \neq 0$ определяется формулой |
| $3.5.18.$ Если в момент $t = 0$ осциллятор, колеблющийся с затуханием, находится в положении равновесия и его скорость равна $v_0$, то координата его в момент времени $t \neq 0$ определяется формулой |
| $$x = \frac{v_0}{\omega} \exp(-\gamma t) \sin \omega t,$$ |
| $$x = \frac{v_0}{\omega} \exp(-\gamma t) \sin \omega t,$$ |
| где $\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$, $\gamma < \omega_0 = \sqrt{k/m}$, $k, m$ и $\gamma$ — соответственно жесткость, масса и коэффициент затухания осциллятора. Покажите, что свойства осциллятора, описанные в задачах 3.5.12 и 3.5.15, не противоречат этому утверждению. |
| где $\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$, $\gamma < \omega_0 = \sqrt{k/m}$, $k, m$ и $\gamma$ — соответственно жесткость, масса и коэффициент затухания осциллятора. Покажите, что свойства осциллятора, описанные в задачах 3.5.12 и 3.5.15, не противоречат этому утверждению. |
| |
| |
| ### Solution |
| ### Решение |
| |
| |
| **Связь с задачей 3.5.12:** |
| #### Связь с задачей 3.5.12: |
| |
| |
| В задаче 3.5.12 рассматриваются два осциллятора с одинаковыми отношениями $k/m = \omega_0^2$ и $b/m = 2\gamma$. |
| В задаче 3.5.12 рассматриваются два осциллятора с одинаковыми отношениями $k/m = \omega_0^2$ и $b/m = 2\gamma$. |
| |
| |
| Из формулы для координаты $x(t)$ видно, что она зависит только от начальной скорости $v_0$, собственной частоты $\omega_0$ и коэффициента затухания $\gamma$. |
| Из формулы для координаты $x(t)$ видно, что она зависит только от начальной скорости $v_0$, собственной частоты $\omega_0$ и коэффициента затухания $\gamma$. |
| |
| |
| Поскольку параметры $\omega_0$ и $\gamma$ у двух осцилляторов совпадают, при одинаковых начальных условиях ($v_0$) уравнение выдаст тождественно равные зависимости $x(t)$. Противоречий нет. |
| Поскольку параметры $\omega_0$ и $\gamma$ у двух осцилляторов совпадают, при одинаковых начальных условиях ($v_0$) уравнение выдаст тождественно равные зависимости $x(t)$. Противоречий нет. |
| |
| |
| **Связь с задачей 3.5.15:** |
| #### Связь с задачей 3.5.15: |
| |
| |
| Найдем скорость осциллятора $v(t)$, взяв производную координаты $x(t)$ по времени: |
| Найдем скорость осциллятора $v(t)$, взяв производную координаты $x(t)$ по времени: |
| $$ v(t) = x'(t) = \frac{v_0}{\omega} \left( -\gamma \exp(-\gamma t) \sin \omega t + \omega \exp(-\gamma t) \cos \omega t \right) $$ |
| $$ v(t) = x'(t) = \frac{v_0}{\omega} \left( -\gamma \exp(-\gamma t) \sin \omega t + \omega \exp(-\gamma t) \cos \omega t \right) $$ |
| | | |
| Осциллятор проходит положение равновесия при $x(t) = 0$, что соответствует условию $\sin \omega t = 0$. В эти моменты $\cos \omega t = \pm 1$. | | Осциллятор проходит положение равновесия при $x(t) = 0$, что соответствует условию $\sin \omega t = 0$. В эти моменты $\cos \omega t = \pm 1$. |
| | | |
| Подставляя эти значения в выражение для скорости, получаем модуль скорости в моменты прохождения равновесия: | | Подставляя эти значения в выражение для скорости, получаем модуль скорости в моменты прохождения равновесия: |
| $$ |v(t)| = \frac{v_0}{\omega} \left| 0 + \omega \exp(-\gamma t) (\pm 1) \right| = v_0 \exp(-\gamma t) $$ | | $$ |v(t)| = \frac{v_0}{\omega} \left| 0 + \omega \exp(-\gamma t) (\pm 1) \right| = v_0 \exp(-\gamma t) $$ |
| | | |
| По условию задачи 3.5.15, через время $T$ скорость уменьшается в $n$ раз. Запишем это: | | По условию задачи 3.5.15, через время $T$ скорость уменьшается в $n$ раз. Запишем это: |
| $$ |v(T)| = v_0 \exp(-\gamma T) = \frac{v_0}{n} $$ | | $$ |v(T)| = v_0 \exp(-\gamma T) = \frac{v_0}{n} $$ |
| | | |
| Отсюда получаем фактор затухания за один период $T$: | | Отсюда получаем фактор затухания за один период $T$: |
| $$ \exp(-\gamma T) = \frac{1}{n} $$ | | $$ \exp(-\gamma T) = \frac{1}{n} $$ |
| | | |
| Определим скорость через время $2T$: | | Определим скорость через время $2T$: |
| $$ |v(2T)| = v_0 \exp(-2\gamma T) = v_0 (\exp(-\gamma T))^2 = v_0 \left(\frac{1}{n}\right)^2 = \frac{v_0}{n^2} $$ | | $$ |v(2T)| = v_0 \exp(-2\gamma T) = v_0 (\exp(-\gamma T))^2 = v_0 \left(\frac{1}{n}\right)^2 = \frac{v_0}{n^2} $$ |
| | | |
| Аналогично, через время $3T$: | | Аналогично, через время $3T$: |
| $$ |v(3T)| = v_0 \exp(-3\gamma T) = v_0 (\exp(-\gamma T))^3 = v_0 \left(\frac{1}{n}\right)^3 = \frac{v_0}{n^3} $$ | | $$ |v(3T)| = v_0 \exp(-3\gamma T) = v_0 (\exp(-\gamma T))^3 = v_0 \left(\frac{1}{n}\right)^3 = \frac{v_0}{n^3} $$ |
| | | |
| Полученные аналитические выражения строго показывают, что скорость в положениях равновесия убывает в геометрической прогрессии. Противоречий с выводами задачи 3.5.15 нет. | | Полученные аналитические выражения строго показывают, что скорость в положениях равновесия убывает в геометрической прогрессии. Противоречий с выводами задачи 3.5.15 нет. |
