Решение

NO: Эта задача была в одном из туров отборочных испытаний в Национальную сборную Республики Беларусь на Международную Физическую Олимпиаду

Поршень не падает, потому что импульс, который передают ударяющиеся каждые $\Delta t$ секунд шарики, компенсирует силу тяжести, действующую на поршень

$$Mg = N \frac{dp}{dt} \tag{1}$$

Т.к. удар абсолютно упругий, скорость шарика по модулю при ударе сохраняется, а по направлению меняется на противоположную

$$dp = m(v - (-v)) = 2mv \tag{2}$$

Время между двумя последовательными соударениями одного шарика $\Delta t$ найдем из кинематических соображений

$$v_0t - \frac{gt^2}{2} = H \tag{3}$$

$$v_0 - gt = v \tag{4}$$

$$v= \sqrt{v_0^2 - 2gh} \tag{5}$$

Из $\text{(3)}$ выразим $t$

$$t = \frac{v_0 - \sqrt{v^2_0-2gh}}{g} \tag{6}$$

Найденное $t$ — это время полета только в одну сторону. Время между двумя последовательными ударами шарика о поршень равно $\Delta t = 2t$. Подставляя $\Delta p = 2mv$ и $\Delta t = 2t$ в уравнение (1), получаем:

$$Mg = N \frac{2m\sqrt{v_0^2 - 2gh}}{2\frac{v_0 - \sqrt{v^2_0-2gh}}{g}} \tag{7}$$

$$M(v_0 - \sqrt{v^2_0-2gh}) = N m\sqrt{v_0^2 - 2gh} \tag{5}$$

$$Mv_0 = (M+N m)\sqrt{v_0^2 - 2gh} \tag{8}$$

Возводим обе части в квадрат

$$M^2v_0^2 = (M+N m)^2(v_0^2 - 2gh) \tag{9}$$

Откуда находим скорость:

$$v_0 = \sqrt{2gh\frac{(M+Nm)^2}{Nm(Nm+2M)}} \tag{10}$$

Из закона сохранения энергии, шарик запущенный со скоростью $v_0$ с поверхности земли достигнет максиму своего полета на высоте

$$H=\frac{v_0^2}{2g} \tag{11}$$

$$\boxed{H=h\frac{(M+Nm)^2}{Nm(Nm+2M)}} \tag{12}$$