| ### Условие: | | ### Условие: |
| | | |
| $2.2.32^*.$ В цилиндре под поршнем массы $M$ прыгают, упруго ударяясь о поршень и дно цилиндра, $N$ шариков массы $m$ каждый. Сила тяжести, действующая на поршень, уравновешена ударами шариков. Расстояние между дном цилиндра и поршнем равно $h$. Полная энергия каждого шарика одинакова. На какую высоту будут подскакивать шарики, если поршень быстро убрать? $N \gg 1$. | | $2.2.32^*.$ В цилиндре под поршнем массы $M$ прыгают, упруго ударяясь о поршень и дно цилиндра, $N$ шариков массы $m$ каждый. Сила тяжести, действующая на поршень, уравновешена ударами шариков. Расстояние между дном цилиндра и поршнем равно $h$. Полная энергия каждого шарика одинакова. На какую высоту будут подскакивать шарики, если поршень быстро убрать? $N \gg 1$. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Решение: | | ### Решение: |
| | | |
| NO: Эта задача была в одном из туров отборочных испытаний в Национальную сборную Республики Беларусь на Международную Физическую Олимпиаду | | NO: Эта задача была в одном из туров отборочных испытаний в Национальную сборную Республики Беларусь на Международную Физическую Олимпиаду |
| | | |
| Поршень не падает, потому что импульс, который передают ударяющиеся каждые $\Delta t$ секунд шарики, компенсирует силу тяжести, действующую на поршень | | Поршень не падает, потому что импульс, который передают ударяющиеся каждые $\Delta t$ секунд шарики, компенсирует силу тяжести, действующую на поршень |
| | | |
| $$ | | $$ |
| Mg = N \frac{dp}{dt} \tag{1} | | Mg = N \frac{dp}{dt} \tag{1} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Т.к. удар абсолютно упругий, скорость шарика по модулю при ударе сохраняется, а по направлению меняется на противоположную | | Т.к. удар абсолютно упругий, скорость шарика по модулю при ударе сохраняется, а по направлению меняется на противоположную |
| | | |
| $$ | | $$ |
| dp = m(v - (-v)) = 2mv \tag{2} | | dp = m(v - (-v)) = 2mv \tag{2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Время между двумя последовательными соударениями одного шарика $\Delta t$ найдем из кинематических соображений | | Время между двумя последовательными соударениями одного шарика $\Delta t$ найдем из кинематических соображений |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v_0t - \frac{gt^2}{2} = H \tag{3} | | v_0t - \frac{gt^2}{2} = H \tag{3} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v_0 - gt = v \tag{4} | | v_0 - gt = v \tag{4} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v= \sqrt{v_0^2 - 2gh} \tag{5} | | v= \sqrt{v_0^2 - 2gh} \tag{5} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Из $\text{(3)}$ выразим $t$ | | Из $\text{(3)}$ выразим $t$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| M(v_0 - \sqrt{v^2_0-2gh}) = N m\sqrt{v_0^2 - 2gh} \tag{5} | | M(v_0 - \sqrt{v^2_0-2gh}) = N m\sqrt{v_0^2 - 2gh} \tag{5} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| Mv_0 = (M+N m)\sqrt{v_0^2 - 2gh} \tag{8} | | Mv_0 = (M+N m)\sqrt{v_0^2 - 2gh} \tag{8} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Возводим обе части в квадрат | | Возводим обе части в квадрат |
| | | |
| $$ | | $$ |
| M^2v_0^2 = (M+N m)^2(v_0^2 - 2gh) \tag{9} | | M^2v_0^2 = (M+N m)^2(v_0^2 - 2gh) \tag{9} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Откуда находим скорость: | | Откуда находим скорость: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v_0 = \sqrt{2gh\frac{(M+Nm)^2}{Nm(Nm+2M)}} \tag{10} | | v_0 = \sqrt{2gh\frac{(M+Nm)^2}{Nm(Nm+2M)}} \tag{10} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Из закона сохранения энергии, шарик запущенный со скоростью $v_0$ с поверхности земли достигнет максиму своего полета на высоте | | Из закона сохранения энергии, шарик запущенный со скоростью $v_0$ с поверхности земли достигнет максиму своего полета на высоте |
| | | |
| $$ | | $$ |
| H=\frac{v_0^2}{2g} \tag{11} | | H=\frac{v_0^2}{2g} \tag{11} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \boxed{H=h\frac{(M+Nm)^2}{Nm(Nm+2M)}} \tag{12} | | \boxed{H=h\frac{(M+Nm)^2}{Nm(Nm+2M)}} \tag{12} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| #### Ответ: | | #### Ответ: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| H=h\frac{(M+Nm)^2}{Nm(Nm+2M)} | | H=h\frac{(M+Nm)^2}{Nm(Nm+2M)} |
| $$ | | $$ |
