New solution

Valter edited
View solution History
revision #19847 newer →
ru/6.3.7.md +38 −0
@@ -0,0 +1,38 @@
+### Условие
+
+$6.3.7.$ [Вставьте условие задачи]
+
+### Решение
+
+### Условие
+
+$6.3.7.$ Сфера радиуса $R$ имеет заряд $Q$. Чему равен потенциал поля в центре сферы? Зависит ли потенциал в центре сферы от распределения зарядов на сфере? Зависит ли потенциал поля на поверхности сферы от распределения заряда по сфере?
+
+### Решение
+
+В условии строго сказано, что заряд находится «на сфере», а не «в шаре». Это означает, что мы рассматриваем именно поверхностное (двумерное) распределение заряда. Если бы заряд был распределен по объему, последующие вопросы задачи о зависимости от локального распределения потеряли бы смысл. Поэтому считаем, что весь заряд $Q$ находится исключительно на поверхности.
+
+Разобьем полный заряд $Q$ на элементарные точечные заряды $dq$, расположенные на сфере.
+
+1. Потенциал в центре сферы
+Потенциал, создаваемый каждым элементом $dq$ в центре сферы, равен:
+$$ dV = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{dq}{R} $$
+
+Так как для любой точки на поверхности сферы расстояние до ее геометрического центра строго равно радиусу $R$, эту величину можно вынести как константу за знак интеграла при подсчете полного потенциала:
+$$ V(0) = \int dV = \int \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{dq}{R} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 R} \int dq = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R} $$
+
+Поскольку расстояние от любого элемента $dq$ до центра всегда одинаково, потенциал в центре равен $\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}$ и не зависит от того, как именно (равномерно или кусками) распределен заряд по поверхности.
+
+2. Потенциал на поверхности сферы
+При расчете потенциала на самой поверхности сферы расстояние от выбранной точки до других элементов заряда $dq$ уже не является константой (оно будет меняться от $0$ до $2R$).
+
+Если заряд распределен неравномерно, то вблизи его скоплений потенциал будет локально выше, а вдали — ниже. Следовательно, потенциал поля на поверхности сферы зависит от распределения заряда. (Поверхность сферы будет эквипотенциальной только в двух случаях: если заряд распределен идеально равномерно, либо если сфера является проводящей).
+
+### Ответ
+
+$$ V(0) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R} $$
+Не зависит; зависит.
+
+#### Ответ
+
+[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]