Решение

Проведем ось X вдоль стола сонаправленно с действием силы $\mathbf{F}$.
Поскольку на систему вдоль оси X никакие внешние силы, кроме силы $\mathbf{F}$, не действуют, то движение центра масс системы можно определить по второму закону Ньютона:

$$Ma = F$$

где $M = 2m$ - масса системы. Отсюда ускорение, с которым движется центр масс системы:

$$a = \frac{F}{2m}$$

Теперь рассмотрим относительное движение одного бруска по отношению к другому. Внутри системы действует сила упругости $k(x - l_0)$, где $x$ - текущее расстояние между брусками. Перейдём в систему отсчёта, движущуюся вместе с центром масс. Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось X для левого бруска:

$$m\ddot{x} = -k(x - l_0) + ma$$

Подставляя ускорение, получим:

$$m\ddot{x} = -k(x - l_0) + \frac{F}{2}$$

Введём относительную координату $\xi = x - l_0$ и перепишем наше уравнение движения:

$$m\ddot{\xi} = -k\xi + \frac{F}{2}$$

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, которое решается как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Решение однородного уравнения известно:

$$\xi(t) = A \cos(\omega t + \varphi), \quad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде $\xi_{part}(t) = D$, где $D$ - некоторая константа. Подставим частное решение в уравнение:

$$0 = -kD + \frac{F}{2}$$

Откуда

$$D = \frac{F}{2k}$$

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения:

$$\xi(t) = A \cos(\omega t + \varphi) + \frac{F}{2k}$$

Амплитуда и начальная фаза колебаний определяются начальными условиями. В начальный момент пружина не растянута $\xi(0) = 0$, и скорости тоже нет $\dot{\xi}(0) = 0$:

$$\dot{\xi}(t) = -\omega A \sin(\omega t + \varphi)$$

Подставляя $t=0$, получаем:

$$0 = -\omega A \sin(\varphi)$$

Откуда $\varphi = 0$. Найдём амплитуду колебаний:

$$0 = A + \frac{F}{2k}$$

Откуда

$$A = -\frac{F}{2k}$$

Итак, решением дифференциального уравнения с начальными условиями будет:

$$\xi(t) = -\frac{F}{2k} \cos(\omega t) + \frac{F}{2k}$$

Вернёмся к переменной $x$:

$$x(t) = l_0 - \frac{F}{2k} \cos(\omega t) + \frac{F}{2k}$$

Минимальное расстояние между брусками будет при $\cos(\omega t) = 1$:

$$\boxed{l_{min} = l_0 - \frac{F}{2k} + \frac{F}{2k} = l_0}$$

Максимальное расстояние между брусками будет при $\cos(\omega t) = -1$:

$$\boxed{l_{max} = l_0 + \frac{F}{2k} + \frac{F}{2k} = l_0 + \frac{F}{k}}$$