Решение

Проведем ось X вдоль стола сонаправленно с действием силы $\mathbf{F}$.
Поскольку на систему вдоль оси X никакие внешние силы, кроме силы $\mathbf{F}$, не действуют, то движение центра масс системы можно определить по второму закону Ньютона:

$$Ma = F$$

где $M = 2m$ - масса системы. Отсюда ускорение, с которым движется центр масс системы:

$$a = \frac{F}{2m}$$

Теперь рассмотрим относительное движение одного бруска по отношению к другому. Внутри системы действует сила упругости $k(x - l_0)$, где $x$ - текущее расстояние между брусками. Перейдём в систему отсчёта, движущуюся вместе с центром масс. Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось X для левого бруска:

$$m\ddot{x} = -k(x - l_0) + ma$$

Подставляя ускорение, получим:

$$m\ddot{x} = -k(x - l_0) + \frac{F}{2}$$

Введём относительную координату $\xi = x - l_0$ и перепишем наше уравнение движения:

$$m\ddot{\xi} = -k\xi + \frac{F}{2}$$

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, которое решается как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Решение однородного уравнения известно:

$$\xi(t) = A \cos(\omega t + \varphi), \quad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде $\xi_{part}(t) = D$, где $D$ - некоторая константа. Подставим частное решение в уравнение:

$$0 = -kD + \frac{F}{2}$$

Откуда

$$D = \frac{F}{2k}$$

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения:

$$\xi(t) = A \cos(\omega t + \varphi) + \frac{F}{2k}$$

Амплитуда и начальная фаза колебаний определяются начальными условиями. В начальный момент пружина не растянута $\xi(0) = 0$, и скорости тоже нет $\dot{\xi}(0) = 0$:

$$\dot{\xi}(t) = -\omega A \sin(\omega t + \varphi)$$

Подставляя $t=0$, получаем:

$$0 = -\omega A \sin(\varphi)$$

Откуда $\varphi = 0$. Найдём амплитуду колебаний:

$$0 = A + \frac{F}{2k}$$

Откуда

$$A = -\frac{F}{2k}$$

Итак, решением дифференциального уравнения с начальными условиями будет:

$$\xi(t) = -\frac{F}{2k} \cos(\omega t) + \frac{F}{2k}$$

Вернёмся к переменной $x$:

$$x(t) = l_0 - \frac{F}{2k} \cos(\omega t) + \frac{F}{2k}$$

Минимальное расстояние между брусками будет при $\cos(\omega t) = 1$:

$$\boxed{l_{min} = l_0 - \frac{F}{2k} + \frac{F}{2k} = l_0}$$

Максимальное расстояние между брусками будет при $\cos(\omega t) = -1$:

$$\boxed{l_{max} = l_0 + \frac{F}{2k} + \frac{F}{2k} = l_0 + \frac{F}{k}}$$

Альтернативное решение (через СО ЦМ)

Перейдем в неинерциальную систему отсчета, связанную с центром масс (СО ЦМ) системы.
Ускорение центра масс всей системы:
$$a_{цм} = \frac{F}{2m}$$

В этой системе отсчета на каждый из брусков действует дополнительная сила инерции $F_{ин} = -ma_{цм} = -\frac{F}{2}$, направленная в сторону, противоположную ускорению.

Тогда в СО ЦМ на бруски действуют следующие эффективные силы:

• На левый брусок: внешняя сила $F$ и сила инерции $F/2$ в обратную сторону. Итоговая сила: $F - \frac{F}{2} = \frac{F}{2}$.
• На правый брусок: только сила инерции $\frac{F}{2}$, направленная в противоположную сторону (от центра масс).

Получается абсолютно симметричная картина: в системе центра масс бруски растягиваются в разные стороны одинаковыми силами $F_{эфф} = \frac{F}{2}$.

Найдем смещение положения равновесия в этой системе. В новом положении равновесия сила упругости компенсирует эту растягивающую силу:
$$k \Delta x_{равн} = \frac{F}{2} \implies \Delta x_{равн} = \frac{F}{2k}$$

Поскольку в начальный момент времени бруски покоились (относительная скорость равна нулю), они начинают движение из крайней точки. Колебания гармонического осциллятора всегда происходят симметрично относительно положения равновесия.

Значит, амплитуда этих колебаний равна расстоянию от начальной точки до нового положения равновесия:
$$A = \Delta x_{равн} = \frac{F}{2k}$$

Отсюда сразу получаем крайние длины пружины.
Минимальная длина (это наша начальная крайняя точка, из которой бруски стартовали):
$$\boxed{l_{min} = l_0}$$

Максимальная длина (противоположная крайняя точка на графике колебаний):
$$\boxed{l_{max} = l_0 + 2A = l_0 + 2\left(\frac{F}{2k}\right) = l_0 + \frac{F}{k}}$$