Решение

Проведем ось X вдоль стола сонаправленно с действием силы $\mathbf{F}$.
Поскольку на систему вдоль оси X никакие внешние силы, кроме силы $\mathbf{F}$, не действуют, то движение центра масс системы можно определить по второму закону Ньютона:

\begin{equation} Ma = F \end{equation}

где $M = 2m$ - масса системы. Отсюда ускорение, с которым движется центр масс системы:

\begin{equation} a = \frac{F}{2m} \end{equation}

Теперь рассмотрим относительное движение одного бруска по отношению к другому. Внутри системы действует сила упругости $k(x - l_0)$, где $x$ - текущее расстояние между брусками. Перейдём в систему отсчёта, движущуюся вместе с центром масс. Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось X для левого бруска:

\begin{equation} m\ddot{x} = -k(x - l_0) + ma \end{equation}

Подставляя ускорение, получим:

\begin{equation} m\ddot{x} = -k(x - l_0) + \frac{F}{2} \end{equation}

Введём относительную координату $\xi = x - l_0$ и перепишем наше уравнение движения:

\begin{equation} m\ddot{\xi} = -k\xi + \frac{F}{2} \end{equation}

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, которое решается как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Решение однородного уравнения известно:

\begin{equation} \xi(t) = A \cos(\omega t + \varphi), \quad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \end{equation}

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде $\xi_{part}(t) = D$, где $D$ - некоторая константа. Подставим частное решение в уравнение:

\begin{equation} 0 = -kD + \frac{F}{2} \end{equation}

Откуда

\begin{equation} D = \frac{F}{2k} \end{equation}

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения:

\begin{equation} \xi(t) = A \cos(\omega t + \varphi) + \frac{F}{2k} \end{equation}

Амплитуда и начальная фаза колебаний определяются начальными условиями. В начальный момент пружина не растянута $\xi(0) = 0$, и скорости тоже нет $\dot{\xi}(0) = 0$:

\begin{equation} \dot{\xi}(t) = -\omega A \sin(\omega t + \varphi) \end{equation}

Подставляя $t=0$, получаем:

\begin{equation} 0 = -\omega A \sin(\varphi) \end{equation}

Откуда $\varphi = 0$. Найдём амплитуду колебаний:

\begin{equation} 0 = A + \frac{F}{2k} \end{equation}

Откуда

\begin{equation} A = -\frac{F}{2k} \end{equation}

Итак, решением дифференциального уравнения с начальными условиями будет:

\begin{equation} \xi(t) = -\frac{F}{2k} \cos(\omega t) + \frac{F}{2k} \end{equation}

Вернёмся к переменной $x$:

\begin{equation} x(t) = l_0 - \frac{F}{2k} \cos(\omega t) + \frac{F}{2k} \end{equation}

Минимальное расстояние между брусками будет при $\cos(\omega t) = 1$:

\begin{equation} \boxed{l_{min} = l_0 - \frac{F}{2k} + \frac{F}{2k} = l_0} \end{equation}

Максимальное расстояние между брусками будет при $\cos(\omega t) = -1$:

\begin{equation} \boxed{l_{max} = l_0 + \frac{F}{2k} + \frac{F}{2k} = l_0 + \frac{F}{k}} \end{equation}