Edit to “Решение”
ru/2.4.1.md
+2 −0
| ### Условие | |||
| $2.4.1.$ Шарики массы $m$ каждый, связанные нитью, движутся по окружности с постоянной скоростью $v$. Кинетическая энергия каждого шарика, равная $mv^2/2$, не меняется. Если перейти в систему отсчета, в которой середина нити движется в плоскости вращения прямолинейно со скоростью $v$, энергия каждого из шариков меняется от нуля до $4 (mv^2/2)$. Какая причина вызывает такое изменение энергии? Изменяется ли в указанной системе отсчета суммарная кинетическая энергия? | |||
| @@ -4,6 +4,8 @@Условие | |||
| ### Решение | |||
| + |  | ||
| + | |||
| 1. Разберемся, почему меняется энергия одного шарика. | |||
| В исходной системе отсчета (связанной с центром нити) шарик движется по окружности. Скорость шарика $\vec{v}_1$ всегда перпендикулярна силе натяжения нити $\vec{T}_1$. Мощность силы натяжения в этой системе отсчета равна нулю: | |||
| $$P_1 = \vec{T}_1 \cdot \vec{v}_1 = 0$$ | |||
| Поэтому кинетическая энергия шарика не меняется. | |||
| Перейдем в новую систему отсчета, которая движется с постоянной скоростью $\vec{u}$ (по модулю $|\vec{u}| = v$). | |||
| По закону сложения скоростей, скорость шарика в новой СО равна $\vec{v}'_1 = \vec{v}_1 - \vec{u}$. | |||
| Мощность силы натяжения в новой СО: | |||
| $$P'_1 = \vec{T}_1 \cdot \vec{v}'_1 = \vec{T}_1 \cdot (\vec{v}_1 - \vec{u}) = \vec{T}_1 \cdot \vec{v}_1 - \vec{T}_1 \cdot \vec{u}$$ | |||
| Так как $\vec{T}_1 \cdot \vec{v}_1 = 0$, получаем: | |||
| $$P'_1 = - \vec{T}_1 \cdot \vec{u}$$ | |||
| Поскольку вектор силы натяжения $\vec{T}_1$ постоянно вращается, угол между $\vec{T}_1$ и постоянным вектором $\vec{u}$ меняется. Следовательно, скалярное произведение $\vec{T}_1 \cdot \vec{u}$ отлично от нуля и меняет знак. Сила натяжения нити в новой системе отсчета совершает работу, что и приводит к колебаниям кинетической энергии каждого отдельного шарика. | |||
| 2. Выясним, меняется ли суммарная кинетическая энергия. | |||
| Для нахождения полной кинетической энергии системы в новой СО удобнее всего воспользоваться теоремой Кёнига: кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии движения центра масс и кинетической энергии относительного движения системы вокруг центра масс. | |||
| $$E_k = E_{\text{отн}} + \frac{M_{\text{общ}} V_{\text{цм}}^2}{2}$$ | |||
| В нашем случае: | |||
| - Относительная кинетическая энергия (в СО центра нити) постоянна: $E_{\text{отн}} = \frac{mv^2}{2} + \frac{mv^2}{2} = mv^2$ | |||
| - Общая масса системы: $M_{\text{общ}} = 2m$ | |||
| - Скорость центра масс (середины нити) в новой СО по условию постоянна и равна $v$: $V_{\text{цм}} = v$. | |||
| Подставляем в формулу: | |||
| $$E_k = mv^2 + \frac{2m \cdot v^2}{2} = mv^2 + mv^2 = 2mv^2$$ | |||
| Как видно, итоговое выражение не содержит переменных, зависящих от времени или угла поворота. Суммарная кинетическая энергия системы в новой системе отсчета строго постоянна во времени. | |||
| Примечание: изменение энергии каждого шарика происходит в противофазе, так как мощности сил натяжения равны $P'_1 = - \vec{T}_1 \cdot \vec{u}$ и $P'_2 = - \vec{T}_2 \cdot \vec{u}$. Поскольку нить невесома, $\vec{T}_1 = -\vec{T}_2$, откуда следует, что суммарная мощность внутренних сил $P'_1 + P'_2 = 0$. Работа просто перераспределяет энергию между шариками. | |||
| #### Ответ | |||
| 1. В движущейся системе отсчета сила натяжения нити совершает работу над каждым шариком. | |||
| 2. Суммарная кинетическая энергия не изменяется. | |||
| unchanged lines 28 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $2.4.1.$ Шарики массы $m$ каждый, связанные нитью, движутся по окружности с постоянной скоростью $v$. Кинетическая энергия каждого шарика, равная $mv^2/2$, не меняется. Если перейти в систему отсчета, в которой середина нити движется в плоскости вращения прямолинейно со скоростью $v$, энергия каждого из шариков меняется от нуля до $4 (mv^2/2)$. Какая причина вызывает такое изменение энергии? Изменяется ли в указанной системе отсчета суммарная кинетическая энергия? | $2.4.1.$ Шарики массы $m$ каждый, связанные нитью, движутся по окружности с постоянной скоростью $v$. Кинетическая энергия каждого шарика, равная $mv^2/2$, не меняется. Если перейти в систему отсчета, в которой середина нити движется в плоскости вращения прямолинейно со скоростью $v$, энергия каждого из шариков меняется от нуля до $4 (mv^2/2)$. Какая причина вызывает такое изменение энергии? Изменяется ли в указанной системе отсчета суммарная кинетическая энергия? | ||
| @@ -4,6 +4,8 @@Условие | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
|  | |||
| 1. Разберемся, почему меняется энергия одного шарика. | 1. Разберемся, почему меняется энергия одного шарика. | ||
| В исходной системе отсчета (связанной с центром нити) шарик движется по окружности. Скорость шарика $\vec{v}_1$ всегда перпендикулярна силе натяжения нити $\vec{T}_1$. Мощность силы натяжения в этой системе отсчета равна нулю: | В исходной системе отсчета (связанной с центром нити) шарик движется по окружности. Скорость шарика $\vec{v}_1$ всегда перпендикулярна силе натяжения нити $\vec{T}_1$. Мощность силы натяжения в этой системе отсчета равна нулю: | ||
| $$P_1 = \vec{T}_1 \cdot \vec{v}_1 = 0$$ | $$P_1 = \vec{T}_1 \cdot \vec{v}_1 = 0$$ | ||
| Поэтому кинетическая энергия шарика не меняется. | Поэтому кинетическая энергия шарика не меняется. | ||
| Перейдем в новую систему отсчета, которая движется с постоянной скоростью $\vec{u}$ (по модулю $|\vec{u}| = v$). | Перейдем в новую систему отсчета, которая движется с постоянной скоростью $\vec{u}$ (по модулю $|\vec{u}| = v$). | ||
| По закону сложения скоростей, скорость шарика в новой СО равна $\vec{v}'_1 = \vec{v}_1 - \vec{u}$. | По закону сложения скоростей, скорость шарика в новой СО равна $\vec{v}'_1 = \vec{v}_1 - \vec{u}$. | ||
| Мощность силы натяжения в новой СО: | Мощность силы натяжения в новой СО: | ||
| $$P'_1 = \vec{T}_1 \cdot \vec{v}'_1 = \vec{T}_1 \cdot (\vec{v}_1 - \vec{u}) = \vec{T}_1 \cdot \vec{v}_1 - \vec{T}_1 \cdot \vec{u}$$ | $$P'_1 = \vec{T}_1 \cdot \vec{v}'_1 = \vec{T}_1 \cdot (\vec{v}_1 - \vec{u}) = \vec{T}_1 \cdot \vec{v}_1 - \vec{T}_1 \cdot \vec{u}$$ | ||
| Так как $\vec{T}_1 \cdot \vec{v}_1 = 0$, получаем: | Так как $\vec{T}_1 \cdot \vec{v}_1 = 0$, получаем: | ||
| $$P'_1 = - \vec{T}_1 \cdot \vec{u}$$ | $$P'_1 = - \vec{T}_1 \cdot \vec{u}$$ | ||
| Поскольку вектор силы натяжения $\vec{T}_1$ постоянно вращается, угол между $\vec{T}_1$ и постоянным вектором $\vec{u}$ меняется. Следовательно, скалярное произведение $\vec{T}_1 \cdot \vec{u}$ отлично от нуля и меняет знак. Сила натяжения нити в новой системе отсчета совершает работу, что и приводит к колебаниям кинетической энергии каждого отдельного шарика. | Поскольку вектор силы натяжения $\vec{T}_1$ постоянно вращается, угол между $\vec{T}_1$ и постоянным вектором $\vec{u}$ меняется. Следовательно, скалярное произведение $\vec{T}_1 \cdot \vec{u}$ отлично от нуля и меняет знак. Сила натяжения нити в новой системе отсчета совершает работу, что и приводит к колебаниям кинетической энергии каждого отдельного шарика. | ||
| 2. Выясним, меняется ли суммарная кинетическая энергия. | 2. Выясним, меняется ли суммарная кинетическая энергия. | ||
| Для нахождения полной кинетической энергии системы в новой СО удобнее всего воспользоваться теоремой Кёнига: кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии движения центра масс и кинетической энергии относительного движения системы вокруг центра масс. | Для нахождения полной кинетической энергии системы в новой СО удобнее всего воспользоваться теоремой Кёнига: кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии движения центра масс и кинетической энергии относительного движения системы вокруг центра масс. | ||
| $$E_k = E_{\text{отн}} + \frac{M_{\text{общ}} V_{\text{цм}}^2}{2}$$ | $$E_k = E_{\text{отн}} + \frac{M_{\text{общ}} V_{\text{цм}}^2}{2}$$ | ||
| В нашем случае: | В нашем случае: | ||
| - Относительная кинетическая энергия (в СО центра нити) постоянна: $E_{\text{отн}} = \frac{mv^2}{2} + \frac{mv^2}{2} = mv^2$ | - Относительная кинетическая энергия (в СО центра нити) постоянна: $E_{\text{отн}} = \frac{mv^2}{2} + \frac{mv^2}{2} = mv^2$ | ||
| - Общая масса системы: $M_{\text{общ}} = 2m$ | - Общая масса системы: $M_{\text{общ}} = 2m$ | ||
| - Скорость центра масс (середины нити) в новой СО по условию постоянна и равна $v$: $V_{\text{цм}} = v$. | - Скорость центра масс (середины нити) в новой СО по условию постоянна и равна $v$: $V_{\text{цм}} = v$. | ||
| Подставляем в формулу: | Подставляем в формулу: | ||
| $$E_k = mv^2 + \frac{2m \cdot v^2}{2} = mv^2 + mv^2 = 2mv^2$$ | $$E_k = mv^2 + \frac{2m \cdot v^2}{2} = mv^2 + mv^2 = 2mv^2$$ | ||
| Как видно, итоговое выражение не содержит переменных, зависящих от времени или угла поворота. Суммарная кинетическая энергия системы в новой системе отсчета строго постоянна во времени. | Как видно, итоговое выражение не содержит переменных, зависящих от времени или угла поворота. Суммарная кинетическая энергия системы в новой системе отсчета строго постоянна во времени. | ||
| Примечание: изменение энергии каждого шарика происходит в противофазе, так как мощности сил натяжения равны $P'_1 = - \vec{T}_1 \cdot \vec{u}$ и $P'_2 = - \vec{T}_2 \cdot \vec{u}$. Поскольку нить невесома, $\vec{T}_1 = -\vec{T}_2$, откуда следует, что суммарная мощность внутренних сил $P'_1 + P'_2 = 0$. Работа просто перераспределяет энергию между шариками. | Примечание: изменение энергии каждого шарика происходит в противофазе, так как мощности сил натяжения равны $P'_1 = - \vec{T}_1 \cdot \vec{u}$ и $P'_2 = - \vec{T}_2 \cdot \vec{u}$. Поскольку нить невесома, $\vec{T}_1 = -\vec{T}_2$, откуда следует, что суммарная мощность внутренних сил $P'_1 + P'_2 = 0$. Работа просто перераспределяет энергию между шариками. | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| 1. В движущейся системе отсчета сила натяжения нити совершает работу над каждым шариком. | 1. В движущейся системе отсчета сила натяжения нити совершает работу над каждым шариком. | ||
| 2. Суммарная кинетическая энергия не изменяется. | 2. Суммарная кинетическая энергия не изменяется. | ||
| unchanged lines 28 | |||