Решение

1. Разберемся, почему меняется энергия одного шарика.
   В исходной системе отсчета (связанной с центром нити) шарик движется по окружности. Скорость шарика $\vec{v}_1$ всегда перпендикулярна силе натяжения нити $\vec{T}_1$. Мощность силы натяжения в этой системе отсчета равна нулю:
   $$P_1 = \vec{T}_1 \cdot \vec{v}_1 = 0$$
   Поэтому кинетическая энергия шарика не меняется.

Перейдем в новую систему отсчета, которая движется с постоянной скоростью $\vec{u}$ (по модулю $|\vec{u}| = v$).
По закону сложения скоростей, скорость шарика в новой СО равна $\vec{v}'_1 = \vec{v}_1 - \vec{u}$.
Мощность силы натяжения в новой СО:
$$P'_1 = \vec{T}_1 \cdot \vec{v}'_1 = \vec{T}_1 \cdot (\vec{v}_1 - \vec{u}) = \vec{T}_1 \cdot \vec{v}_1 - \vec{T}_1 \cdot \vec{u}$$
Так как $\vec{T}_1 \cdot \vec{v}_1 = 0$, получаем:
$$P'_1 = - \vec{T}_1 \cdot \vec{u}$$
Поскольку вектор силы натяжения $\vec{T}_1$ постоянно вращается, угол между $\vec{T}_1$ и постоянным вектором $\vec{u}$ меняется. Следовательно, скалярное произведение $\vec{T}_1 \cdot \vec{u}$ отлично от нуля и меняет знак. Сила натяжения нити в новой системе отсчета совершает работу, что и приводит к колебаниям кинетической энергии каждого отдельного шарика.

2. Выясним, меняется ли суммарная кинетическая энергия.
   Для нахождения полной кинетической энергии системы в новой СО удобнее всего воспользоваться теоремой Кёнига: кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии движения центра масс и кинетической энергии относительного движения системы вокруг центра масс.
   $$E_k = E_{\text{отн}} + \frac{M_{\text{общ}} V_{\text{цм}}^2}{2}$$

В нашем случае:

• Относительная кинетическая энергия (в СО центра нити) постоянна: $E_{\text{отн}} = \frac{mv^2}{2} + \frac{mv^2}{2} = mv^2$
• Общая масса системы: $M_{\text{общ}} = 2m$
• Скорость центра масс (середины нити) в новой СО по условию постоянна и равна $v$: $V_{\text{цм}} = v$.

Подставляем в формулу:
$$E_k = mv^2 + \frac{2m \cdot v^2}{2} = mv^2 + mv^2 = 2mv^2$$
Как видно, итоговое выражение не содержит переменных, зависящих от времени или угла поворота. Суммарная кинетическая энергия системы в новой системе отсчета строго постоянна во времени.

Примечание: изменение энергии каждого шарика происходит в противофазе, так как мощности сил натяжения равны $P'_1 = - \vec{T}_1 \cdot \vec{u}$ и $P'_2 = - \vec{T}_2 \cdot \vec{u}$. Поскольку нить невесома, $\vec{T}_1 = -\vec{T}_2$, откуда следует, что суммарная мощность внутренних сил $P'_1 + P'_2 = 0$. Работа просто перераспределяет энергию между шариками.