$3.6.8.$ Колонна Исаакиевского собора в Санкт-Петербурге имеет высоту $30$ м. На сколько она сжата под действием собственной тяжести? Плотность гранита $2,7 \cdot 10^3$ кг/м$^3$, а его модуль Юнга $10^{11}$ Па.
### Решение
Главная особенность этой задачи заключается в том, что сила сжатия колонны неравномерна: верхняя часть не нагружена ничем, а на самое основание давит весь огромный вес колонны. Рассмотрим два способа нахождения суммарной деформации.
<b>Способ 1. Через среднюю силу </b>
Поскольку колонна однородна и имеет постоянное сечение, сила давления (вес) нарастает линейно по мере движения от вершины к основанию. На самом верху сила равна нулю ($F_{\text{верх}} = 0$), а у основания она максимальна и равна полному весу колонны ($F_{\text{низ}} = Mg = \rho S h g$).
Благодаря этой строгой линейной зависимости мы можем использовать среднюю силу, действующую по всей длине колонны:
$$F_{\text{ср}} = \frac{F_{\text{верх}} + F_{\text{низ}}}{2} = \frac{0 + \rho S h g}{2} = \frac{\rho S h g}{2}$$
Запишем закон Гука для всей колонны в целом, подставив в него среднюю силу:
$$\Delta h = \frac{F_{\text{ср}} h}{E S} = \frac{\frac{\rho S h g}{2}\cdot h}{E S} = \frac{\rho g h^2}{2E}$$
<b>Способ 2. Через интегрирование </b>
Разобьем колонну на бесконечно малые горизонтальные слои толщиной $dy$. Пусть координата $y$ отсчитывается от вершины колонны вниз (от $0$ до $h$).
На выделенный микрослой, находящийся на глубине $y$, давит вес гранита, расположенного строго выше него. Масса этой части $m(y) = \rho S y$, а сила давления:
$$F(y) = m(y)g = \rho S g y$$
Согласно закону Гука, абсолютное сжатие $d(\Delta y)$ этого бесконечно малого слоя равно:
$$d(\Delta y) = \frac{F(y) dy}{E S} = \frac{\rho S g y dy}{E S} = \frac{\rho g y}{E} dy$$
Чтобы найти полное сжатие всей колонны, проинтегрируем (просуммируем) деформации всех таких слоев от вершины ($y = 0$) до основания ($y = h$):
$$\Delta h = \int_{0}^{h}\frac{\rho g y}{E} dy = \frac{\rho g}{E}\int_{0}^{h} y dy = \frac{\rho g}{E}\left[ \frac{y^2}{2}\right]_{0}^{h} = \frac{\rho g h^2}{2E}$$
Как видим, оба метода закономерно приводят к абсолютно идентичному результату.
@@ -28,7 +28,7 @@Решение
<b>Вычисление:</b>
Подставим заданные значения, считая ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с$^2$:
*(При использовании классического для данного задачника значения $g = 10$ м/с$^2$, расчетное значение составит $\approx 1.215 \cdot 10^{-4}$ м, что при округлении до двух значащих цифр дает итоговый ответ).*
+
(При использовании классического для данного задачника значения $g = 10$ м/с$^2$, расчетное значение составит $\approx 1.215 \cdot 10^{-4}$ м, что при округлении до двух значащих цифр дает итоговый ответ).
#### Ответ
$\Delta h = \frac{\rho g h^2}{2E} = 1.2 \cdot 10^{-4}$ м
### Условие
### Условие
$3.6.8.$ Колонна Исаакиевского собора в Санкт-Петербурге имеет высоту $30$ м. На сколько она сжата под действием собственной тяжести? Плотность гранита $2,7 \cdot 10^3$ кг/м$^3$, а его модуль Юнга $10^{11}$ Па.
$3.6.8.$ Колонна Исаакиевского собора в Санкт-Петербурге имеет высоту $30$ м. На сколько она сжата под действием собственной тяжести? Плотность гранита $2,7 \cdot 10^3$ кг/м$^3$, а его модуль Юнга $10^{11}$ Па.
### Решение
### Решение
Главная особенность этой задачи заключается в том, что сила сжатия колонны неравномерна: верхняя часть не нагружена ничем, а на самое основание давит весь огромный вес колонны. Рассмотрим два способа нахождения суммарной деформации.
Главная особенность этой задачи заключается в том, что сила сжатия колонны неравномерна: верхняя часть не нагружена ничем, а на самое основание давит весь огромный вес колонны. Рассмотрим два способа нахождения суммарной деформации.
<b>Способ 1. Через среднюю силу </b>
<b>Способ 1. Через среднюю силу </b>
Поскольку колонна однородна и имеет постоянное сечение, сила давления (вес) нарастает линейно по мере движения от вершины к основанию. На самом верху сила равна нулю ($F_{\text{верх}} = 0$), а у основания она максимальна и равна полному весу колонны ($F_{\text{низ}} = Mg = \rho S h g$).
Поскольку колонна однородна и имеет постоянное сечение, сила давления (вес) нарастает линейно по мере движения от вершины к основанию. На самом верху сила равна нулю ($F_{\text{верх}} = 0$), а у основания она максимальна и равна полному весу колонны ($F_{\text{низ}} = Mg = \rho S h g$).
Благодаря этой строгой линейной зависимости мы можем использовать среднюю силу, действующую по всей длине колонны:
Благодаря этой строгой линейной зависимости мы можем использовать среднюю силу, действующую по всей длине колонны:
$$F_{\text{ср}} = \frac{F_{\text{верх}} + F_{\text{низ}}}{2} = \frac{0 + \rho S h g}{2} = \frac{\rho S h g}{2}$$
$$F_{\text{ср}} = \frac{F_{\text{верх}} + F_{\text{низ}}}{2} = \frac{0 + \rho S h g}{2} = \frac{\rho S h g}{2}$$
Запишем закон Гука для всей колонны в целом, подставив в него среднюю силу:
Запишем закон Гука для всей колонны в целом, подставив в него среднюю силу:
$$\Delta h = \frac{F_{\text{ср}} h}{E S} = \frac{\frac{\rho S h g}{2}\cdot h}{E S} = \frac{\rho g h^2}{2E}$$
$$\Delta h = \frac{F_{\text{ср}} h}{E S} = \frac{\frac{\rho S h g}{2}\cdot h}{E S} = \frac{\rho g h^2}{2E}$$
<b>Способ 2. Через интегрирование </b>
<b>Способ 2. Через интегрирование </b>
Разобьем колонну на бесконечно малые горизонтальные слои толщиной $dy$. Пусть координата $y$ отсчитывается от вершины колонны вниз (от $0$ до $h$).
Разобьем колонну на бесконечно малые горизонтальные слои толщиной $dy$. Пусть координата $y$ отсчитывается от вершины колонны вниз (от $0$ до $h$).
На выделенный микрослой, находящийся на глубине $y$, давит вес гранита, расположенного строго выше него. Масса этой части $m(y) = \rho S y$, а сила давления:
На выделенный микрослой, находящийся на глубине $y$, давит вес гранита, расположенного строго выше него. Масса этой части $m(y) = \rho S y$, а сила давления:
$$F(y) = m(y)g = \rho S g y$$
$$F(y) = m(y)g = \rho S g y$$
Согласно закону Гука, абсолютное сжатие $d(\Delta y)$ этого бесконечно малого слоя равно:
Согласно закону Гука, абсолютное сжатие $d(\Delta y)$ этого бесконечно малого слоя равно:
$$d(\Delta y) = \frac{F(y) dy}{E S} = \frac{\rho S g y dy}{E S} = \frac{\rho g y}{E} dy$$
$$d(\Delta y) = \frac{F(y) dy}{E S} = \frac{\rho S g y dy}{E S} = \frac{\rho g y}{E} dy$$
Чтобы найти полное сжатие всей колонны, проинтегрируем (просуммируем) деформации всех таких слоев от вершины ($y = 0$) до основания ($y = h$):
Чтобы найти полное сжатие всей колонны, проинтегрируем (просуммируем) деформации всех таких слоев от вершины ($y = 0$) до основания ($y = h$):
$$\Delta h = \int_{0}^{h}\frac{\rho g y}{E} dy = \frac{\rho g}{E}\int_{0}^{h} y dy = \frac{\rho g}{E}\left[ \frac{y^2}{2}\right]_{0}^{h} = \frac{\rho g h^2}{2E}$$
$$\Delta h = \int_{0}^{h}\frac{\rho g y}{E} dy = \frac{\rho g}{E}\int_{0}^{h} y dy = \frac{\rho g}{E}\left[ \frac{y^2}{2}\right]_{0}^{h} = \frac{\rho g h^2}{2E}$$
Как видим, оба метода закономерно приводят к абсолютно идентичному результату.
Как видим, оба метода закономерно приводят к абсолютно идентичному результату.
@@ -28,7 +28,7 @@Решение
<b>Вычисление:</b>
<b>Вычисление:</b>
Подставим заданные значения, считая ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с$^2$:
Подставим заданные значения, считая ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с$^2$:
*(При использовании классического для данного задачника значения $g = 10$ м/с$^2$, расчетное значение составит $\approx 1.215 \cdot 10^{-4}$ м, что при округлении до двух значащих цифр дает итоговый ответ).*
(При использовании классического для данного задачника значения $g = 10$ м/с$^2$, расчетное значение составит $\approx 1.215 \cdot 10^{-4}$ м, что при округлении до двух значащих цифр дает итоговый ответ).
#### Ответ
#### Ответ
$\Delta h = \frac{\rho g h^2}{2E} = 1.2 \cdot 10^{-4}$ м
$\Delta h = \frac{\rho g h^2}{2E} = 1.2 \cdot 10^{-4}$ м
