Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/3.6.8.md
+25 −4
| @@ -1,13 +1,34 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $3.6.8.$ Колонна Исаакиевского собора в Санкт-Петербурге имеет высоту 30 м. На сколько она сжата под действием собственной тяжести? Плотность гранита 2,7 | ||
| + | $3.6.8.$ Колонна Исаакиевского собора в Санкт-Петербурге имеет высоту $30$ м. На сколько она сжата под действием собственной тяжести? Плотность гранита $2,7 \cdot 10^3$ кг/м$^3$, а его модуль Юнга $10^{11}$ Па. | ||
| ### Решение | |||
| − |  | ||
| + | Главная особенность этой задачи заключается в том, что сила сжатия колонны неравномерна: верхняя часть не нагружена ничем, а на самое основание давит весь огромный вес колонны. Рассмотрим два способа нахождения суммарной деформации. | ||
| + | <b>Способ 1. Через среднюю силу </b> | ||
| + | Поскольку колонна однородна и имеет постоянное сечение, сила давления (вес) нарастает линейно по мере движения от вершины к основанию. На самом верху сила равна нулю ($F_{\text{верх}} = 0$), а у основания она максимальна и равна полному весу колонны ($F_{\text{низ}} = Mg = \rho S h g$). | ||
| + | Благодаря этой строгой линейной зависимости мы можем использовать среднюю силу, действующую по всей длине колонны: | ||
| + | $$F_{\text{ср}} = \frac{F_{\text{верх}} + F_{\text{низ}}}{2} = \frac{0 + \rho S h g}{2} = \frac{\rho S h g}{2}$$ | ||
| + | Запишем закон Гука для всей колонны в целом, подставив в него среднюю силу: | ||
| + | $$\Delta h = \frac{F_{\text{ср}} h}{E S} = \frac{\frac{\rho S h g}{2} \cdot h}{E S} = \frac{\rho g h^2}{2E}$$ | ||
| − | #### Ответ | ||
| + | <b>Способ 2. Через интегрирование </b> | ||
| − | |||
| + | Разобьем колонну на бесконечно малые горизонтальные слои толщиной $dy$. Пусть координата $y$ отсчитывается от вершины колонны вниз (от $0$ до $h$). | ||
| + | На выделенный микрослой, находящийся на глубине $y$, давит вес гранита, расположенного строго выше него. Масса этой части $m(y) = \rho S y$, а сила давления: | ||
| + | $$F(y) = m(y)g = \rho S g y$$ | ||
| + | Согласно закону Гука, абсолютное сжатие $d(\Delta y)$ этого бесконечно малого слоя равно: | ||
| + | $$d(\Delta y) = \frac{F(y) dy}{E S} = \frac{\rho S g y dy}{E S} = \frac{\rho g y}{E} dy$$ | ||
| + | Чтобы найти полное сжатие всей колонны, проинтегрируем (просуммируем) деформации всех таких слоев от вершины ($y = 0$) до основания ($y = h$): | ||
| + | $$\Delta h = \int_{0}^{h} \frac{\rho g y}{E} dy = \frac{\rho g}{E} \int_{0}^{h} y dy = \frac{\rho g}{E} \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{h} = \frac{\rho g h^2}{2E}$$ | ||
| + | Как видим, оба метода закономерно приводят к абсолютно идентичному результату. | ||
| + | |||
| + | <b>Вычисление:</b> | ||
| + | Подставим заданные значения, считая ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с$^2$: | ||
| + | $$\Delta h = \frac{2700 \cdot 9.8 \cdot 30^2}{2 \cdot 10^{11}} = \frac{2700 \cdot 9.8 \cdot 900}{2 \cdot 10^{11}} \approx 1.19 \cdot 10^{-4} \text{ м}$$ | ||
| + | *(При использовании классического для данного задачника значения $g = 10$ м/с$^2$, расчетное значение составит $\approx 1.215 \cdot 10^{-4}$ м, что при округлении до двух значащих цифр дает итоговый ответ).* | ||
| + | |||
| + | #### Ответ | ||
| + | $\Delta h = \frac{\rho g h^2}{2E} = 1.2 \cdot 10^{-4}$ м | ||
| @@ -1,13 +1,34 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.6.8.$ Колонна Исаакиевского собора в Санкт-Петербурге имеет высоту 30 м. На сколько она сжата под действием собственной тяжести? Плотность гранита 2,7 |
$3.6.8.$ Колонна Исаакиевского собора в Санкт-Петербурге имеет высоту $30$ м. На сколько она сжата под действием собственной тяжести? Плотность гранита $2,7 \cdot 10^3$ кг/м$^3$, а его модуль Юнга $10^{11}$ Па. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
|  | Главная особенность этой задачи заключается в том, что сила сжатия колонны неравномерна: верхняя часть не нагружена ничем, а на самое основание давит весь огромный вес колонны. Рассмотрим два способа нахождения суммарной деформации. | ||
| <b>Способ 1. Через среднюю силу </b> | |||
| Поскольку колонна однородна и имеет постоянное сечение, сила давления (вес) нарастает линейно по мере движения от вершины к основанию. На самом верху сила равна нулю ($F_{\text{верх}} = 0$), а у основания она максимальна и равна полному весу колонны ($F_{\text{низ}} = Mg = \rho S h g$). | |||
| Благодаря этой строгой линейной зависимости мы можем использовать среднюю силу, действующую по всей длине колонны: | |||
| $$F_{\text{ср}} = \frac{F_{\text{верх}} + F_{\text{низ}}}{2} = \frac{0 + \rho S h g}{2} = \frac{\rho S h g}{2}$$ | |||
| Запишем закон Гука для всей колонны в целом, подставив в него среднюю силу: | |||
| $$\Delta h = \frac{F_{\text{ср}} h}{E S} = \frac{\frac{\rho S h g}{2} \cdot h}{E S} = \frac{\rho g h^2}{2E}$$ | |||
| #### Ответ | <b>Способ 2. Через интегрирование </b> | ||
| Разобьем колонну на бесконечно малые горизонтальные слои толщиной $dy$. Пусть координата $y$ отсчитывается от вершины колонны вниз (от $0$ до $h$). | |||
| На выделенный микрослой, находящийся на глубине $y$, давит вес гранита, расположенного строго выше него. Масса этой части $m(y) = \rho S y$, а сила давления: | |||
| $$F(y) = m(y)g = \rho S g y$$ | |||
| Согласно закону Гука, абсолютное сжатие $d(\Delta y)$ этого бесконечно малого слоя равно: | |||
| $$d(\Delta y) = \frac{F(y) dy}{E S} = \frac{\rho S g y dy}{E S} = \frac{\rho g y}{E} dy$$ | |||
| Чтобы найти полное сжатие всей колонны, проинтегрируем (просуммируем) деформации всех таких слоев от вершины ($y = 0$) до основания ($y = h$): | |||
| $$\Delta h = \int_{0}^{h} \frac{\rho g y}{E} dy = \frac{\rho g}{E} \int_{0}^{h} y dy = \frac{\rho g}{E} \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{h} = \frac{\rho g h^2}{2E}$$ | |||
| Как видим, оба метода закономерно приводят к абсолютно идентичному результату. | |||
| <b>Вычисление:</b> | |||
| Подставим заданные значения, считая ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с$^2$: | |||
| $$\Delta h = \frac{2700 \cdot 9.8 \cdot 30^2}{2 \cdot 10^{11}} = \frac{2700 \cdot 9.8 \cdot 900}{2 \cdot 10^{11}} \approx 1.19 \cdot 10^{-4} \text{ м}$$ | |||
| *(При использовании классического для данного задачника значения $g = 10$ м/с$^2$, расчетное значение составит $\approx 1.215 \cdot 10^{-4}$ м, что при округлении до двух значащих цифр дает итоговый ответ).* | |||
| #### Ответ | |||
| $\Delta h = \frac{\rho g h^2}{2E} = 1.2 \cdot 10^{-4}$ м | |||