| @@ -1,42 +1,26 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $2.4.34.$ Два груза массы m1 и m2 (m1 > m2) связаны нитью, переброшенной через неподвижный блок. В начальный момент груз массы m1 удерживают на высоте h над полом. Затем его без толчка отпускают. Какое количество теплоты выделится при ударе груза о пол? Удар абсолютно неупругий. |
| | + | $2.4.34.$ Два груза массы $m_1$ и $m_2$ ($m_1 > m_2$) связаны нитью, переброшенной через неподвижный блок. В начальный момент груз массы $m_1$ удерживают на высоте $h$ над полом. Затем его без толчка отпускают. Какое количество теплоты выделится при ударе груза о пол? Удар абсолютно неупругий. |
| | | |
| | + |  |
| | + | |
| | | ### Решение |
| | | |
| | − | На грузы действуют силы натяжения нити T и силы тяжести m1g и m2g. |
| | + | Найдем скорость грузов $v$ непосредственно перед ударом $m_1$ о пол, используя закон сохранения механической энергии. |
| | + | При опускании груза $m_1$ на высоту $h$, груз $m_2$ поднимается на ту же высоту $h$. Убыль потенциальной энергии системы идет на увеличение кинетической энергии обоих грузов: |
| | + | $$m_1 gh - m_2 gh = \frac{(m_1 + m_2)v^2}{2}$$ |
| | + | $$(m_1 - m_2)gh = \frac{(m_1 + m_2)v^2}{2}$$ |
| | | |
| | − | По 2 закону Ньютона: |
| | + | Отсюда выразим квадрат скорости грузов перед ударом: |
| | + | $$v^2 = 2gh \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}$$ |
| | | |
| | − | m1g-T = m1a. |
| | − | T-m2g = m2a. |
| | + | При абсолютно неупругом ударе о пол груз $m_1$ мгновенно останавливается. В этот момент нить провисает (сила натяжения становится равной нулю), и груз $m_2$ продолжает свободное движение вверх. Так как связь между грузами в момент удара пропадает, в тепло переходит исключительно кинетическая энергия падающего груза $m_1$, которой он обладал за мгновение до столкновения. |
| | | |
| | − | Сложив уравнения получим: (m1-m2)g = (m1+m2)a. |
| | + | Количество выделившейся теплоты $Q$: |
| | + | $$Q = \frac{m_1 v^2}{2}$$ |
| | | |
| | − | a = (m1-m2)g/(m1+m2). |
| | + | Подставляем ранее найденное выражение для $v^2$: |
| | + | $$Q = \frac{m_1}{2} \cdot 2gh \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} = m_1 gh \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}$$ |
| | | |
| | − | U^2 = 2ah. (Из кинематики). |
| | − | |
| | − | U = √2ah = √2 * (m1-m2)gh/(m1+m2). |
| | − | |
| | − | Скорость m2 сразу после удара остаётся U, так как нить теряет натяжение. |
| | − | |
| | − | Eк.m2 = m2U^2/2. |
| | − | |
| | − | E нач. = m1gh. |
| | − | |
| | − | E кон. = m2gh+m2U^2/2 (m2 поднялся на высоту h). |
| | − | |
| | − | Q = Eнач. - Eкон. |
| | − | |
| | − | Q = m1gh-(m2gh+m2U^2/2). |
| | − | |
| | − | Q = (m1-m2)gh-m2U^2/2 = m1(m1-m2)gh/(m1+m2) = m1gh(m1-m2)/(m1+m2). |
| | − | |
| | − | |
| | − | |
| | | #### Ответ |
| | − | |
| | − | Q = m1gh(m1-m2)/(m1+m2). |
| | − | |
| | − | |
| | + | $Q = m_1 gh \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}$ |
