Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

Valter edited
View solution History
revision #20232 parent #14858 ← older
ru/13.1.4.md +13 −19
@@ -1,31 +1,25 @@
### Условие
$13.1.4.$ В шторах, затемняющих комнату, образовалось маленькое отверстие. В отверстие заглянуло солнце, и по стене пополз круглый «зайчик». Почему форма зайчика не зависит от формы отверстия (треугольное, квадратное)? В каком случае появится зависимость от формы отверстия? (Тот же эффект можно наблюдать при помощи маленького осколка зеркала.)
−### Решение и Ответ:
+### Решение
−Форма «зайчика» на стене не зависит от формы отверстия в шторах, потому что в данном случае источник света (Солнце) является протяжённым, а не точечным.
+Форма «зайчика» не зависит от формы отверстия, поскольку в данном случае работает принцип камеры-обскуры, а источник света (Солнце) является протяжённым.
−Солнце — не точечный источник!
+Угловой размер Солнца при наблюдении с Земли составляет $\alpha \approx 0.5^\circ \approx 9 \cdot 10^{-3}$ рад. Каждую точку отверстия в шторе можно рассматривать как точечный источник, который проецирует на стену изображение солнечного диска. Диаметр этого диска на стене равен $D = \alpha L$, где $L$ — расстояние от шторы до стены.
−Угловой размер Солнца при наблюдении с Земли составляет около 0,5°.
−Каждая точка отверстия пропускает целый пучок лучей от разных точек солнечного диска.
−В результате на стене проецируется не изображение отверстия, а изображение самого Солнца — круглое пятно.
+Полное светлое пятно на стене формируется как наложение (суперпозиция) множества таких круглых дисков, центры которых смещены друг относительно друга в пределах размеров самого отверстия $d$.
+Характерный размер пятна на стене можно оценить как сумму: $D_{\text{полн}} \approx d + \alpha L$.
−Если отверстие достаточно маленькое, лучи от краёв Солнца перекрываются, и на стене видна светлая окружность (проекция солнечного диска).
−Форма краёв зайчика может быть немного размытой, но в целом он остаётся круглым.
+Отсюда возникают два предельных случая:
+1. $d \ll \alpha L$ (отверстие маленькое или стена далеко). В этом случае размер самого отверстия пренебрежимо мал по сравнению с проекцией Солнца. Множество солнечных дисков сливаются почти в один, и на стене мы видим четкое круглое изображение Солнца. Форма самого отверстия лишь создает микроскопическую размытость на краях пятна, незаметную глазу.
+2. $d \ge \alpha L$ (отверстие большое или стена близко). В этом случае размер проекции Солнца мал по сравнению с размером отверстия. Теперь уже форма пятна в точности повторяет форму отверстия (треугольник, квадрат), а угловой размер Солнца $\alpha$ лишь создает на краях этого пятна небольшую полутень (размытость) шириной $\alpha L$. Именно в этом случае форма зайчика начнет зависеть от формы отверстия.
−Зависимость появится в двух случаях:
+Абсолютно аналогичная логика применима и к осколку зеркала: если размер зеркала $d \ll \alpha L$, то зайчик будет круглым (изображение Солнца). Если взять большое зеркало ($d \ge \alpha L$), форма зайчика повторит форму зеркала.
−Если отверстие сравнимо по размеру с проекцией Солнца (например, очень большое):
+#### Ответ
−Тогда тень от краёв отверстия станет чёткой, и зайчик примет его форму (треугольную, квадратную и т. д.).
+При малых размерах отверстия ($d \ll \alpha L$) на стене формируется круглое изображение самого Солнца (эффект камеры-обскуры). Зависимость от формы отверстия появится, если размер отверстия станет соизмерим или больше проекции солнечного диска ($d \ge \alpha L$), где $\alpha$ — угловой размер Солнца, а $L$ — расстояние до стены.
−Если источник света точечный (например, лазер или далёкая звёзда):
−
−В этом случае зайчик будет точной копией отверстия, так как нет перекрытия лучей от разных точек источника.
−
−Тот же эффект наблюдается с осколком зеркала:
−
−Если зеркало маленькое, отражённый солнечный зайчик будет круглым, так как форма пятна определяется угловым размером Солнца.
−Если зеркало большое, зайчик станет таким же по форме, как зеркало.
+---
+P. S. Подробнее в книге — «Солнечный зайчик на старой стене» (Вл. Савицкий). Правда, оптики вы там не найдете, это сборник повестей о судьбах людей, но зато отлично поможет расслабится!