Edits to “Решение”, “Ответ”, “Вывод формулы скорости поперечной волны ”

Valter edited
View solution History
revision #20313 parent #20312 ← older
ru/3.9.21.md +35 −7
@@ -9,6 +9,8 @@Решение
Известно, что скорость распространения поперечных волн $v$ вдоль натянутой струны зависит от силы её натяжения $F$ и линейной плотности $\mu$ (массы единицы длины) по формуле:
$$v = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$$
+(Вывод этой формулы находится внизу решения)
+
<b>2. Условие образования стоячей волны</b>
Поскольку гитарная струна жестко закреплена с обоих концов, на этих концах должны образовываться узлы стоячей волны. На первой гармонике (основной тон) на всей длине струны $l$ укладывается ровно одна пучность, то есть половина длины волны $\lambda$:
@@ -45,15 +47,41 @@Решение
#### Ответ
$F = 144 \text{ Н}$
−### Вывод основной формулы:
−Пусть мы имеем волновой импульс, распространяющийся в жидкости или газе. Труба заполнена жидкостью, в которой \(t\) = 0 плотность \(ρ\) и давление \(p0\). В момент времени \(t\) = 0 поршень в конце трубы начинает двигаться вправо со скоростью \(U'\), сжимая перед сообой среду. Передний фронт области сжатия движется с характерной скоростью \(U\). Будем считать, что \(U\)>>\(U'\). За время t передний форнт сжатия проходит \(U*t\), а задний фронт \(U'*t\). Поршень увеличивает концентрацию газа в области контакта за счёт уменьшения объёма, а значит увеличивает давлениу. \(p\)=\(nkT\). Чтобы разогнать покоящийся газ до скорости \(v^{\prime }\), его нужно толкнуть. Толкает именно избыток давления \(\Delta P\). Пусть давление в области сжатия \(p0+\Delta P\) на \(\Delta P\) больше, чем в невозмущённой среде. Чтобы переместить поршень вправо к нему нужно приложить (\(p0+\Delta P\)) \(*S\).
+### Вывод формулы скорости поперечной волны в струне:
−Результирующую силу, действующую на среду в области сжатия, можно записать в виде (\(p0+\Delta P\)) \(*S\) - \(p0*S\) = \(\Delta P\) \(*S\) То есть \(\Delta P\) \(*S\)\(\*t\) = \(ρ*S*U*t*U'\), поршень сообщает массе жидкости \(ρ*S*U*t\) скорость \(U'\) Сжимаемая поршнем среда также движется со скоростью \(U'\). Следовательно \(\Delta P\) \(\=ρUU'\). Согласно определению, модуль всестороннего сжатия В \(B=\Delta p / \Delta V / V0 = -ρUU'\/ \Delta V / V0\)
+Перейдем в систему отсчета, которая движется вдоль струны вместе с волной со скоростью $v$. В этой системе отсчета сама волна (например, «гребень») неподвижна, а вот вещество струны «набегает» на этот гребень и движется по нему со скоростью $v$.
−Скорость \(v\) (фронт) — это скорость сигнала. Она показывает, как быстро упругое возмущение (эстафета) передается от молекулы к молекуле вперед по трубе. Это скорость гребня волны. Как быстро перемещается этот гребень.
+<b>1. Выделяем малый элемент струны</b>
−Скорость \(v^{\prime }\) (среда) — это скорость вещества. Она показывает, с какой скоростью физически двигаются сами молекулы (вслед за поршнем), когда до них уже дошел сигнал. Это скорость самих частиц внутри волны. \(B=ρU^2\) и \(U\) = \(\sqrt B/ \sqrt ρ\).
+Рассмотрим очень маленький фрагмент струны на самой вершине волны. Из-за его малости кривизну этого участка можно считать дугой окружности некоторого радиуса $R$. Пусть эта дуга опирается на малый центральный угол $2\alpha$.
+Тогда длина этого фрагмента равна:
+$$\Delta l = R \cdot 2\alpha$$
−Как только фронт волны проходит через очередной слой неподвижного вещества, этот слой мгновенно «узнаёт» о движении поршня. Волна как бы передаёт частицам команду от поршня, и они вовлекаются в общее движение — начинают двигаться со скоростью \(v^{\prime }\).
+<b>2. Масса элемента струны</b>
−![К задаче $3.9.21$|70x70, 10%](../../img/3.9.21/Dzhankoli_D_Fizika_V_2-Kh_Tomakh_1 (3).jpg)
+Так как линейная плотность струны (масса единицы длины) равна $\mu$, масса нашего выделенного кусочка составит:
+$$\Delta m = \mu \Delta l = \mu R (2\alpha)$$
+
+<b>3. Силы натяжения (возвращающая сила)</b>
+
+На левый и правый концы этого кусочка действуют силы натяжения $F$. Они направлены по касательной к струне. Из-за изгиба струны обе эти силы смотрят немного вниз (к центру кривизны окружности).
+Спроецируем эти силы на радиальную ось (направленную к центру окружности). Равнодействующая сила равна сумме проекций:
+$$F_{\text{рез}} = F \sin\alpha + F \sin\alpha = 2F \sin\alpha$$
+Поскольку мы выделили бесконечно малый участок струны, угол $\alpha$ тоже очень мал. Для малых углов, выраженных в радианах, справедливо приближение: $\sin\alpha \approx \alpha$.
+Тогда возвращающая сила принимает вид:
+$$F_{\text{рез}} = 2F\alpha$$
+
+<b>4. Второй закон Ньютона </b>
+
+В нашей подвижной системе отсчета этот кусочек струны массы $\Delta m$ пробегает по дуге радиуса $R$ со скоростью $v$. Значит, он обладает центростремительным ускорением, которое создается найденной равнодействующей силой $F_{\text{рез}}$.
+Запишем второй закон Ньютона ($F = m a_c$):
+$$F_{\text{рез}} = \frac{\Delta m \cdot v^2}{R}$$
+
+<b>5. Получение итоговой формулы</b>
+
+Подставляем в это уравнение наши выражения для $F_{\text{рез}}$ и $\Delta m$:
+$$2F\alpha = \frac{\mu R (2\alpha) v^2}{R}$$
+Радиус кривизны $R$ и угол $2\alpha$ сокращаются в обеих частях уравнения. Остается:
+$$F = \mu v^2$$
+Отсюда выражаем искомую скорость поперечной волны:
+$$v = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$$