3.9.21. С какой силой нужно натянуть гитарную струну длины $l = 60 \text{ см}$ и линейной плотности $\mu = 0,1 \text{ г/см}$, чтобы она звучала с частотой $\nu = 100 \text{ Гц}$ на первой гармонике, т. е. на первой резонансной частоте?
Решение
1. Скорость поперечной волны в струне
Известно, что скорость распространения поперечных волн $v$ вдоль натянутой струны зависит от силы её натяжения $F$ и линейной плотности $\mu$ (массы единицы длины) по формуле: $$v = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$$
(Вывод этой формулы находится внизу решения)
2. Условие образования стоячей волны
Поскольку гитарная струна жестко закреплена с обоих концов, на этих концах должны образовываться узлы стоячей волны. На первой гармонике (основной тон) на всей длине струны $l$ укладывается ровно одна пучность, то есть половина длины волны $\lambda$: $$l = \frac{\lambda}{2} \implies \lambda = 2l$$
3. Связь частоты, длины волны и скорости
По определению, скорость распространения волны связана с её длиной и частотой формулой: $$v = \lambda \nu$$ Подставляя сюда выражение для длины волны, получаем скорость волны на первой гармонике: $$v = 2l\nu$$
4. Вывод итоговой формулы
Приравняем два выражения для скорости волны: $$2l\nu = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$$ Отсюда выразим искомую силу натяжения $F$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $$4l^2\nu^2 = \frac{F}{\mu}$$ $$F = 4\mu l^2\nu^2$$
Перейдем в систему отсчета, которая движется вдоль струны вместе с волной со скоростью $v$. В этой системе отсчета сама волна (например, «гребень») неподвижна, а вот вещество струны «набегает» на этот гребень и движется по нему со скоростью $v$.
1. Выделяем малый элемент струны
Рассмотрим очень маленький фрагмент струны на самой вершине волны. Из-за его малости кривизну этого участка можно считать дугой окружности некоторого радиуса $R$. Пусть эта дуга опирается на малый центральный угол $2\alpha$. Тогда длина этого фрагмента равна: $$\Delta l = R \cdot 2\alpha$$
2. Масса элемента струны
Так как линейная плотность струны (масса единицы длины) равна $\mu$, масса нашего выделенного кусочка составит: $$\Delta m = \mu \Delta l = \mu R (2\alpha)$$
3. Силы натяжения (возвращающая сила)
На левый и правый концы этого кусочка действуют силы натяжения $F$. Они направлены по касательной к струне. Из-за изгиба струны обе эти силы смотрят немного вниз (к центру кривизны окружности). Спроецируем эти силы на радиальную ось (направленную к центру окружности). Равнодействующая сила равна сумме проекций: $$F_{\text{рез}} = F \sin\alpha + F \sin\alpha = 2F \sin\alpha$$ Поскольку мы выделили бесконечно малый участок струны, угол $\alpha$ тоже очень мал. Для малых углов, выраженных в радианах, справедливо приближение: $\sin\alpha \approx \alpha$. Тогда возвращающая сила принимает вид: $$F_{\text{рез}} = 2F\alpha$$
4. Второй закон Ньютона
В нашей подвижной системе отсчета этот кусочек струны массы $\Delta m$ пробегает по дуге радиуса $R$ со скоростью $v$. Значит, он обладает центростремительным ускорением, которое создается найденной равнодействующей силой $F_{\text{рез}}$. Запишем второй закон Ньютона ($F = m a_c$): $$F_{\text{рез}} = \frac{\Delta m \cdot v^2}{R}$$
5. Получение итоговой формулы
Подставляем в это уравнение наши выражения для $F_{\text{рез}}$ и $\Delta m$: $$2F\alpha = \frac{\mu R (2\alpha) v^2}{R}$$ Радиус кривизны $R$ и угол $2\alpha$ сокращаются в обеих частях уравнения. Остается: $$F = \mu v^2$$ Отсюда выражаем искомую скорость поперечной волны: $$v = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$$