| @@ -1,12 +1,12 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $4.2.26.$ Вертикальный цилиндрический сосуд радиуса $R$, частично заполненный жидкостью, вращается вместе с жидкостью вокруг своей оси. К боковой стенке сосуда на нити длины $l$ привязан воздушный шарик радиуса $r$; во время вращения нить образует со стенкой угол $\alpha$. Определите угловую скорость вращения сосуда. |
| $4.2.26.$ Вертикальный цилиндрический сосуд радиуса $R$, частично заполненный жидкостью, вращается вместе с жидкостью вокруг своей оси. К боковой стенке сосуда на нити длины $l$ привязан воздушный шарик радиуса $r$; во время вращения нить образует со стенкой угол $\alpha$. Определите угловую скорость вращения сосуда. |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Решение |
| ### Решение |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| Так как шарик не всплывает на поверхность, вертикальная сила Архимеда полностью компенсируется вертикальной составляющей силы натяжения нити: |
| Так как шарик не всплывает на поверхность, вертикальная сила Архимеда полностью компенсируется вертикальной составляющей силы натяжения нити: |
| $$T \cos\alpha = \frac{4\pi r^3}{3} \rho g$$ |
| $$T \cos\alpha = \frac{4\pi r^3}{3} \rho g$$ |
| | | |
| Отсюда можно выразить силу натяжения нити: | | Отсюда можно выразить силу натяжения нити: |
| $$T = \frac{4\pi r^3}{3 \cos\alpha} \rho g \quad (1)$$ | | $$T = \frac{4\pi r^3}{3 \cos\alpha} \rho g \quad (1)$$ |
| | | |
| Также мы можем записать условие равновесия для <b>горизонтальной силы Архимеда</b>, которая компенсируется горизонтальной составляющей силы натяжения нити: | | Также мы можем записать условие равновесия для <b>горизонтальной силы Архимеда</b>, которая компенсируется горизонтальной составляющей силы натяжения нити: |
| $$T \sin\alpha = \rho V \omega^2 x \quad (2)$$ | | $$T \sin\alpha = \rho V \omega^2 x \quad (2)$$ |
| | | |
| Из рисунка видно, что центр масс шарика находится на расстоянии $l + r$ от точки крепления нити. Тогда расстояние от оси вращения до центра шарика $x$ равно: | | Из рисунка видно, что центр масс шарика находится на расстоянии $l + r$ от точки крепления нити. Тогда расстояние от оси вращения до центра шарика $x$ равно: |
| $$x = R - (l + r) \sin\alpha$$ | | $$x = R - (l + r) \sin\alpha$$ |
| | | |
| Подставив это выражение в $(2)$, получим: | | Подставив это выражение в $(2)$, получим: |
| $$\rho \frac{4\pi r^3}{3} \omega^2 (R - (l + r) \sin\alpha) = T \sin\alpha \quad (3)$$ | | $$\rho \frac{4\pi r^3}{3} \omega^2 (R - (l + r) \sin\alpha) = T \sin\alpha \quad (3)$$ |
| | | |
| Подставляем $(1)$ в $(3)$: | | Подставляем $(1)$ в $(3)$: |
| $$\rho \frac{4\pi r^3}{3} \omega^2 (R - (l + r) \sin\alpha) = \frac{4\pi r^3}{3 \cos\alpha} \rho g \sin\alpha$$ | | $$\rho \frac{4\pi r^3}{3} \omega^2 (R - (l + r) \sin\alpha) = \frac{4\pi r^3}{3 \cos\alpha} \rho g \sin\alpha$$ |
| | | |
| Отсюда находим угловую скорость: | | Отсюда находим угловую скорость: |
| $$\omega = \sqrt{\frac{g \tan\alpha}{R - (l + r) \sin\alpha}}$$ | | $$\omega = \sqrt{\frac{g \tan\alpha}{R - (l + r) \sin\alpha}}$$ |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| $$\omega = \sqrt{\frac{g \tan\alpha}{R - (l + r) \sin\alpha}}$$ | | $$\omega = \sqrt{\frac{g \tan\alpha}{R - (l + r) \sin\alpha}}$$ |
